2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数课时跟踪检测一、选择题1．在△ABC中，cosAcosB＞sinAsinB，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判定解析：∵cosAcosB＞sinAsinB，∴cosAcosB－sinAsinB＞0，∴cos(A＋B)＞0，∴cos(π－C)＞0，∴cosC＜0，∴C为钝角，∴选C.答案：C2．化简cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα得()A．cosαB．cosβC．cos(2α＋β)D．sin(2α＋β)解析：原式＝cos[(α＋β)－α]＝cosβ.答案：B3．设函数f(x)＝sin＋cos，则()A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称解析：f(x)＝sin＋cos＝sin2xcos＋cos2xsin＋cos2xcos－sin2xsin＝cos2x，∴f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称．答案：D4．已知sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于()A．1B．－1C．0D．±1解析：由已知得，sin[(α＋β)－β]＝0，∴sinα＝0.∴α＝kπ，k∈Z.当k为偶数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝sin2β＋sin(－2β)＝0；当k为奇数时，sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝－sin2β＋sin2β＝0.∴故选C.答案：C5．已知cos(α－β)＝，sinβ＝－，且α∈，β∈，则sinα等于()A.B．－C．－D．解析：由于α∈，β∈，则0＜α－β＜π.则sin(α－β)＝＝.又sinβ＝－，β∈，则cosβ＝＝.则sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.答案：A6．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B．C．－D．解析：cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝＝＝sin＝，∴sin＝.sin＝sin＝－sin＝－.答案：C二、填空题7．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|等于________．解析：|a－b|＝＝＝＝1.答案：18．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－cosx取得最大值，则cosθ＝________.解析：f(x)＝2＝2＝2sin.当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值．∴cosθ＝cos＝－.答案：－9．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tanα＝2，则cos＝________.解析：∵tanα＝2，α∈，∴sinα＝，cosα＝，∴cos＝cosαcos＋sinαsin＝＝＝.答案：三、解答题10．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，β是第三象限角，求sin的值．解：由sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝，知sin(α－β－α)＝，∴sinβ＝－.∵β为第三象限角，∴cosβ＝－.∴sin＝(sinβ＋cosβ)＝－.11．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．解：(1)由角α的终边过点P，得sinα＝－，所以sin(α＋π)＝－sinα＝.(2)由角α的终边过点P，得cosα＝－，由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－或cosβ＝－.12．设cos＝－，sin＝且＜α＜π，0＜β＜，求cos.解：∵＜α＜π，0＜β＜，∴＜α－＜π，－＜－β＜，又∵cos＝－，sin＝，∴sin＝＝，cos＝＝.∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝.13．已知a，b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.解：(1)证明：∵a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1.∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.即(a＋b)⊥(a－b)．(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos，且a·b＝，∴cos＝.由－＜α＜，得－＜α－＜0.∴sin＝－＝－.∴sinα＝sin＝sincos＋cossin＝－.
