【成才之路】2015-2016学年高中数学第3章2.1-2.2两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数课时作业北师大版必修4一、选择题1．cos24°cos36°－cos66°cos54°的值是()A．0B．C．D．－[答案]B[解析]原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos60°＝.2．化简cosx＋sinx等于()A．2cos(－x)B．2cos(－x)C．2cos(＋x)D．2cos(＋x)[答案]B[解析]cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)＝2(coscosx＋sinsinx)＝2cos(－x)．3．cos(－)的值是()A．－B．C．D．[答案]B[解析]cos(－)＝cos＝cos(2π＋)＝cos＝cos(－)＝coscos＋sinsin＝×＋×＝.4．已知2tanα·sinα＝3，－<α<0，则cos(α－)的值是()A．0B．C．1D．[答案]A[解析]由2tanα·sinα＝3，得2··sinα＝3，于是sin2α＝cosα. sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＋cos2α＝1.∴2cos2α＋3cosα－2＝0.∴cosα＝或cosα＝－2(舍去)． －<α<0，∴sinα＝－.∴cos(α－)＝cosα·cos＋sinα·sin＝×－×＝0.5．函数f(x)＝sinx－cosx，x∈[－π，0]的单调递增区间是()A．[－π，－]B．[－，－]C．[－，0]D．[－，0][答案]D[解析]方法一：f(x)＝－2(cosx－sinx)＝－2(coscosx－sinsinx)＝－2cos(x＋)． x∈[－π，0]，∴x＋∈[－，]．由于y＝－2cost在[0，]上是增函数，1由0≤x＋≤得－≤x≤0.故f(x)＝sinx－cosx，x∈[－π，0]的增区间为[－，0]．方法二：f(x)＝2(sinx－cosx)＝2(cossinx－sincosx)＝2sin(x－)． x∈[－π，0]，∴x－∈[－，－]．由于y＝2sint在[－，－]上是增函数，由－≤x－≤－，得－≤x≤0.∴f(x)＝sinx－cosx，x∈[－π，0]的增区间为[－，0]．6．已知向量OC＝(2,2)，CA＝(cosα，sinα)，则OA的模的取值范围是()A．[1,3]B．[1,3]C．[，3]D．[，3][答案]D[解析]OA＝OC＋CA＝(2＋cosα，2＋sinα)，所以|OA|＝＝，所以≤|OA|≤3，所以|OA|∈[，3]．故选D．二、填空题7．化简：＝________.[答案]1[解析]原式＝＝＝＝1.8．若cosα＝－，sinβ＝－，α∈(，π)，β∈(，2π)，sin(α＋β)的值为________．[答案][解析] α∈(，π)，cosα＝－，∴sinα＝.又β∈(，2π)，sinβ＝－，∴cosβ＝.∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋(－)×(－)＝.三、解答题9．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β.[解析]由0<β<α<，得0<α－β<.又 cos(α－β)＝，cosα＝∴sin(α－β)＝＝＝.sinα＝＝＝，由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.10．已知a、b是两不共线的向量，且a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)．(1)求证：a＋b与a－b垂直；(2)若α∈，β＝，且a·b＝，求sinα.2[解析](1)证明： a2＝cos2α＋sin2α＝1，b2＝cos2β＋sin2β＝1∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.即(a＋b)⊥(a－b)．(2)由已知a·b＝cosαcos＋sinαsin＝cos，且a·b＝，∴cos＝.由－<α<，得－<α－<0.∴sin＝－＝－.∴sinα＝sin＝sincos＋cossin＝－.一、选择题1．函数y＝cosx－sinx具有性质()A．最大值为，图像关于直线x＝对称B．最大值为1，图像关于直线x＝对称C．最大值为，图像关于(，0)对称D．最大值为1，图像关于(，0)对称[答案]C[解析]y＝(cosx－sinx)＝(cosx·cos－sinx·sin)＝cos(x＋)，其最大值为，排除B，D；由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝kπ－(k∈Z)为此函数的对称轴方程，不包含直线x＝，排除A．故选C．2．已知cos＋sinα＝，则sin的值是()A．－B．C．－D．[答案]C[解析]本题考查三角函数的诱导公式、和角公式以及计算能力． cos＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα，∴cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，即sin＝.又sin＝sin＝－sin＝－.二、填空题3．下面有道填空题因印刷原因造成横线上内容无法认清，现知结论，请在横线上填写原题的一个条件：题目：已知α，β均为锐角，且sinαsinβ＝，________，则cos(α－β)＝.[答案]cosαcosβ＝(不唯一)[解析]由可得cosαcosβ＝.4．已知△ABC中，∠A＝120°，则sinB＋sinC的最大值为________．[答案]1[解析]由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，3得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝cosB＋...
