7．2棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为()A．1：3B．1：6C．1：8D．1：4答案：B解析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则V三棱锥＝(ab)c＝.又V长方体＝abc.故选B.2．正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为()A．3B．6C．9D．18答案：B解析：如图所示O为正四棱锥底面中心，∠PCO＝60°，PC＝2，则在Rt△POC中，PO＝3，OC＝，AC＝2，AB＝＝，∴V锥＝×××3＝6，故选B.3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为()A．26B．28C．30D．32答案：B解析：所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28.4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()A．12πB．45πC．57πD．81π答案：C解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V＝V圆锥＋V圆柱＝×π×32×＋π×32×5＝57π.故选C.5．已知圆柱的侧面展开图的面积为S，底面周长为c，它的体积是()A.B.C.D.答案：D解析：由题意知2πr＝c，所以r＝.又因为ch＝S，所以h＝.所以V＝πr2h＝π()2·＝，故选D.6.在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A.B.C.D.答案：D解析：从A点向BC作垂线，垂足为Q，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：V旋＝V大－V小＝π()2×2.5－π()2×1＝π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案：4解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为×4×3＝6，由左视图，可知该三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为×6×2＝4.8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．答案：54解析：由题意知rR＝13，r、R分别为上、下底面的半径，故(V－52)V＝127，解出V＝54.9．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________．答案：V正方体＜V圆柱解析：设正方体棱长为a，则圆柱高为a，又设圆柱底面圆的半径为r，则4a2＝2πra，即r＝.∴V正方体＝a3，V圆柱＝πr2a＝a3.∵4＞π＞0，∴V正方体＜V圆柱．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，求三棱锥P－ABC的体积．解：因为PA⊥底面ABC，且底面ABC是边长为2的正三角形，所以三棱锥P－ABC的体积V＝××2××3＝.11．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．解：如图，过C作CE垂直于AD，交AD延长线于E，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE绕AE旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC绕DE旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V＝V圆台－V圆锥＝π×(52＋5×2＋22)×4－π×22×2＝π.12.如图，A1A是圆柱的一条母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2.求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．解：因为VA1－ABC＝S△ABC·AA1，而A1A＝2，要使得三棱锥A1－ABC的体积最大，只需三角形ABC的面积最大．记AB边上的高为CD，则S△ABC＝·AB·CD＝CD.显然CD有最大值1，所以VA1－ABC＝×CD×AA1≤×1×2＝.故三棱锥A1－ABC的体积的最大值为.
