4．2空间图形的公理时间：45分钟满分：80分班级________姓名________分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．下列说法正确的个数为()①有三个公共点的两平面必重合；②平面α和平面β只有一个公共点；③三点确定一个平面．A．1B．2C．3D．0答案：D解析：①当这三个公共点共线时，两平面可以相交，但不重合，故①错误；②由公理3，知两个平面若有一个公共点，则必有无数个公共点，故②错误；③不在同一直线上的三点才能确定一个平面，③错误．故选D.2．已知α，β表示两个不同的平面，l表示直线，A，B表示两个不同的点．给出下列命题：①若A∈l，A∈α，B∈l，B∈α，则lα；②若A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，则α∩β＝AB；③若l⃘α，A∈l，则A∉α.其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：C解析：由公理2可知①正确；由公理3可知②正确；当点A为直线l与平面α的交点时，③错误．3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，射线OA，O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是()A．OB∥O1B1，且射线OB，O1B1的方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案：D解析：如图，在图1中OB∥O1B1，在图2中，OB与O1B1不平行．4．设α为两条异面直线所成的角，则α满足()A．0°<α<90°B．0°<α≤90°C．0°≤α≤90°D．0°<α<180°答案：B解析：异面直线所成的角为锐角或直角，故选B.5．如图，在四面体S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能答案：B解析：连接SG1，SG2并延长，分别与AB，AC交于点M，N，连接MN，则M，N分别为AB，AC的中点，由重心的性质，知＝，∴G1G2∥MN.又M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC，再由平行公理可得G1G2∥BC，故选B.6．给出下列四个命题：①不共面的四点中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3答案：B解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确．②当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以②不正确；利用正方体模型，易知③不正确；由空间四边形，知④不正确．二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．不共面的四点可以确定__________个平面．答案：4解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面．8．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为__________；(2)AD与BC′所成的角为__________．答案：(1)60°(2)45°解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．∴∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.9．用一个平面去截一个正方体，截面可能是______．①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．答案：①②③④解析：(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形)三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线．证明：∵AB∥CD，∴AB，CD共面．设ABβ，CDβ，∴ACβ，又E∈AC，∴E∈β.又AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据公理3，知B，E，D三点共线．11.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β，求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，∴AB，CD必相交于一点．设AB∩CD＝M，又AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，∴M在α与β的交线上．又∵α∩β＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．12．如图，P是△ABC所在平面外一点，M，N分别是△PAB和△PBC的重心，AC＝9.(1)求MN的长；(2)若点P，B的位置变化，会影响M，N的位置和MN的长度吗？解：(1)如图，连接PM并延长交BA于E，连接PN并延长交CB于F，连接EF.∵M，N分别是△ABP和△BPC的重心，故E，F分别是AB，BC的中点，∴EF＝AC，且EF∥AC.又＝＝，∴MN＝EF，且MN∥EF.∴MN＝×AC＝AC＝3.(2)由(1)知MN的长与B，P的位置无关，恒是定值．但若P，B位置发生变化，M，N的位置也会改变．
