7．2柱、锥、台的体积1．若长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则长方体的体积为()A．27cm3B．60cm3C．64cm3D．125cm3[解析]V＝3×4×5＝60cm3，选B.[答案]B2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A．3B．4C．5D．6[解析]由题意，V＝(π＋2π＋4π)·h＝7π，所以h＝3.选A.[答案]A3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于()A．πB．2πC．4πD．8π[解析]设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得∴V圆柱＝πr2l＝2π.[答案]B4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A．6B．12C．24D．48[解析]正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.[答案]D空间几何体体积计算常用方法与技巧空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．1．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．【示例1】如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比．[思路分析]如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可．[解][题后反思]三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法．[针对训练1]如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积()A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值[解析]因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝××2×4×4＝，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．[答案]D2．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．【示例2】如图所示的三棱锥O－ABC为长方体的一角，其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5cm2,1cm2,3cm2，求三棱锥O－ABC的体积．[思路分析]三棱锥O－ABC的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O－ABC看作C为顶点，△OAB为底面．由三棱锥C－OAB的体积得出三棱锥O－ABC的体积．[解]设OA，OB，OC的长分别为xcm，ycm，zcm，则由已知可得解得于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝S△OAB·OC＝××1×3×2＝1(cm3)．[题后反思]利用等积法求几何体的体积时，在保证几何体的体积不变的情况下，可以变换几何体的底面与及相应的高，例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．[针对训练2]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1－EDF的体积．[解]VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.
