1.2.2圆周角定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是()A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】B2.如图1228，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么等于()图1228A.sin∠BPDB.cos∠BPDC.tan∠BPDD.以上都不对【解析】由题意可知，∠C＝∠A，∠D＝∠B，连接BD，∠BDP＝90°，∴△CPD∽△APB，∴＝＝cos∠BPD，故选B.【答案】B3.如图1229所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是BC的中点，E是AC的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是()图1229A.50°，30°，100°B.55°，20°，105°C.60°，10°，110°D.40°，20°，120°【解析】如图所示，连接AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD过圆心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是AC的中点，∴∠CBE＝∠CBA＝35°，∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，故选B.【答案】B4.如图1230，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于()图1230A.4πB.8πC.12πD.16π【解析】连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形.又AB＝4，∴OA＝OB＝4.∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】D二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1231，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________.【导学号：61650013】图1231【解析】由圆周角定理得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以周长等于9.【答案】96.如图1232所示，已知AB是⊙O的直径，CD与AB相交于E，∠ACD＝60°，∠ADC＝45°，则∠AEC＝________.图1232【解析】如图，连接BC.根据圆周角定理的推论2，可知∠ACB＝90°.∵∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，BD的度数＝60°.∵∠ADC＝45°，∴AC的度数＝90°.∴∠AEC＝(BD＋AC)的度数＝75°.【答案】75°三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1233，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE＝3，ED＝6，求AB的长.图1233【解】(1)证明：∵AB＝BC，∴AB＝BC，∴∠BDC＝∠ADB，∴DB平分∠ADC.(2)由(1)可知AB＝BC.∴∠BAC＝∠ADB.∵∠ABE＝∠ABD.∴△ABE∽△DBA.∴＝.∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3.8.如图1234,△ABC是圆O的内接等边三角形，AD⊥AB，与BC的延长线相交于点D，与圆O相交于点E，若圆O的半径r＝1，求DE的长度.图1234【解】连接BE，∴AD⊥AB，∴BE为⊙O的直径，且BE＝2r＝2.又∵∠AEB＝∠ACB＝60°，∴∠ABE＝30°，∠EBD＝30°.又∵∠ABD＝60°，∴∠D＝∠EBD＝30°，∴DE＝BE＝2.[能力提升]9.如图1235①所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点.图1235(1)求证：AB2＝AD·AE；(2)如图1235②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由.【解】(1)证明：如图①，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图②，连接BE，结论仍然成立，证法同(1).
