课时分层作业(三十三)两平面垂直(建议用时：40分钟)一、选择题1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的序号是()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥αC[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，错误．]2．设αlβ是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么说法中正确的是()A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行C[当a，b都与l平行时，则a∥b，所以AD错．如图，若a⊥b，过a上一点P在α内作a′⊥l，因为α⊥β，所以a′⊥β.又b⊂β，∴a′⊥b，∴b⊥α，与题干要求矛盾，即a与b不可能垂直．排除B，故选C．]3．下列四个命题中错误的是()A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直B．过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行C．如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行D．如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内B[根据空间点、线、面间的位置关系，过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直，故A正确；过平面外一点有无数条直线与该平面平行，故B不正确；根据平面与平面平行的性质定理知C正确；根据两个平面垂直的性质知D正确．]4．如图所示，将等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠B′AC＝60°，那么这个二面角大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°D[连接B′C，则△AB′C为等边三角形，设AD＝a，则B′C＝AC＝a，B′D＝DC＝a，所以B′C2＝B′D2＋DC2，所以∠B′DC＝90°.]5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCDD．平面ACD⊥平面ABDD[由题意可知，AD⊥AB，AD＝AB，所以∠ABD＝45°，故∠DBC＝45°，又∠BCD＝45°，所以BD⊥DC．因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以平面ACD⊥平面ABD．故选D．]二、填空题6．如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小为________．90°[ PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角BPAC的平面角．又∠BAC＝90°，故二面角BPAC的大小为90°.]7．已知平面α，β，且α∩β＝AB，PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．若PC＝PD＝1，CD＝，则平面α与平面β的位置关系是________．垂直[因为PC⊥α，AB⊂α，所以PC⊥AB．同理PD⊥AB．又PC∩PD＝P，故AB⊥平面PCD．设AB与平面PCD的交点为H，连接CH，DH.因为AB⊥平面PCD，所以AB⊥CH，AB⊥DH，所以∠CHD是二面角CABD的平面角．又PC＝PD＝1，CD＝，所以CD2＝PC2＋PD2＝2，即∠CPD＝90°.又PC⊥α，CH⊂α，所以PC⊥CH，同理PD⊥DH，所以在平面四边形PCHD中，∠PCH＝∠PDH＝∠CPD＝90°，所以∠CHD＝90°，故平面α⊥平面β.]8．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1BDC的大小为________．30°[如图，取BD中点O，连接OC，OC1. AB＝AD＝2，∴CO⊥BD，CO＝. CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD．∴∠C1OC为二面角C1BDC的平面角，∴tan∠C1OC＝＝＝，∴∠C1OC＝30°，即二面角C1BDC的大小为30°.]三、解答题9．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.[证明](1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC．在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因...
