课时分层作业(十三)两角和与差的正切(建议用时：40分钟)一、选择题1．tan255°＝()A．－2－B．－2＋C．2－D．2＋D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.]2．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanαtanβ＝()A．2B．C．1D．D[tan(α＋β)＝＝＝4，∴1－tanαtanβ＝，tanαtanβ＝.]3．已知A，B都是锐角，且tanA＝，sinB＝，则A＋B＝()A．B．C．D．A[∵B∈，sinB＝，∴cosB＝.∴tanB＝.∴tan(A＋B)＝＝＝1.又A，B∈，∴A＋B∈(0，π)．∴A＋B＝.]4．已知tanα，tanβ是方程x2＋6x＋7＝0的两个实根，则tan(α－β)＝()A．B．C．－D．±D[由已知tanα＝－3＋，tanβ＝－3－或tanα＝－3－，tanβ＝－3＋，∴tan(α－β)＝＝±.]5．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝3，tan2B＝tanAtanC，则角B＝()A．30°B．45°C．60°D．75°C[因为A＋B＋C＝180°，所以tan(A＋C)＝－tanB，又tanA＋tanB＋tanC＝3，所以tanA＋tanC＝3－tanB，又tan2B＝tanAtanC，所以由tan(A＋C)＝得－tanB＝，所以－tanB(1－tan2B)＝3－tanB，所以tan3B＝3，所以tanB＝.又0°0，tanC>0，B，C为锐角．<1，∴cosBcosC>sinBsinC．∴cosBcosC－sinBsinC>0，∴cos(B＋C)>0，即cosA＜0，故A为钝角．]8．已知P(2，m)为角α终边上一点，且tan＝，则sinα＝________.－[∵P(2，m)为角α终边上一点，∴tanα＝，再根据tan＝＝＝，∴m＝－1，∴P(2，－1)则sinα＝＝＝－.]三、解答题9．求下列各式的值：(1)tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°；(2)tan70°－tan10°－tan70°tan10°.[解](1)因为tan(17°＋28°)＝，所以tan17°＋tan28°＝tan45°(1－tan17°tan28°)＝1－tan17°tan28°，所以tan17°＋tan28°＋tan17°tan28°＝1.(2)因为tan60°＝tan(70°－10°)＝，所以tan70°－tan10°＝＋tan70°tan10°，所以tan70°－tan10°－tan70°tan10°＝.10．若△ABC的三内角满足：2B＝A＋C，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A，B，C的大小．[解]由题意知：解之得：B＝60°且A＋C＝120°，∴tan(A＋C)＝tan120°＝－＝，又∵tanAtanC＝2＋，∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)·(1－tanAtanC)＝tan120°(1－2－)＝－(－1－)＝3＋.∴tanA，tanC可作为一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根，又∵0＜A＜B＜C＜π，∴tanA＝1，tanC＝2＋.即A＝45°，C＝75°.所以A，B，C的大小分别为45°，60°，75°.1．设向量a＝(cosα，－1)，b＝(2，sinα)，若a⊥b，则tan等于()A．－B．C．－3D．3B[a·b＝2cosα－sinα＝0，得tanα＝2.tan＝＝.]2．(多选题)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝，下列各式正确的是()A．A＋B＝2CB．tan(A＋B)＝－C．tanA＝tanBD．cosB＝sinACD[在△ABC中，C＝120°，所以A＋B＝60°，所以tan(A＋B)＝＝＝，解得tanAtanB＝.由于tanA＋tanB＝，tanAtanB＝.所以tanA和tanB为方程x2－x＋＝0的两个根，所以tanA＝tanB＝.所以cosB＝sinA．故A、B错误，C、D正确．故选CD．]3．A，B，C是△ABC的三个内角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)钝角[由已知得∴tan(A＋B)＝＝＝，在△ABC中，tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－<0，∴C是钝角，∴△ABC是钝角三角形．]4．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.1[∵tanβ＝，∴tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，∴tan(α＋β)＝＝1.]5．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝和②tan·tanβ＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解]由①得＋β＝，∴tan＝＝.将②代入上式得tan＋tanβ＝3－.因此，tan与tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根．解得x1＝1，x2＝2－.若tan＝1，由于0＜＜，∴这样的α不存在．故只能是tan＝2－，tanβ＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.
