课时分层作业(十五)几个三角恒等式(建议用时：40分钟)一、选择题1．若A＋B＝120°，则sinA＋sinB的最大值是()A．1B．C．D.C[sinA＋sinB＝2sincos＝cos≤，∴最大值为.]2．函数y＝sin＋sin的最大值是()A．B．1C．D．B[y＝2sinxcos＝sinx≤1，∴最大值为1.]3．＝()A．B．－C．D．－D[原式＝＝－＝－.]4．设π<α<3π，cosα＝m，cos＝n，cos＝p，下列各式中正确的是()A．n＝－B．n＝C．p＝D．p＝－A[∵<<，∴cos＝－，即n＝－，此外由于<<，因此cos的符号不能确定．]5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cosβ－sinβcos(α＋β)＝－，则tan＝()A．－5B．5C．－D．A[易知sinα＝－，α为第三象限角，∴cosα＝－.∴tan＝＝＝＝＝－5.]二、填空题6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________.[cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos2α＋cos2β)＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β.∴cos2α－sin2β＝.]7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________.－m[sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m.]8．函数y＝sincosx的最小值是________．－[y＝sincosx＝＝＝sin－，当sin＝－1时，y取得最小值为－.]三、解答题9．求函数f(x)＝sinx的最小正周期与最值．[解]f(x)＝sinx＝sinx·2cossin＝－sinxcos＝－＝－sin＋.∴最小正周期为T＝＝π.∵sin∈[－1,1]，∴f(x)max＝，f(x)min＝－.10．已知3tan＝tan，求证：sin2α＝1.[证明]∵3tan＝tan，∴＝，∴3sincos＝sincos，∴＝，∴3sin2α－＝sin2α＋，∴sin2α＝1.1．sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值是()A．B．C．D．1A[原式＝＋＋(sin100°－sin60°)＝1－(cos40°＋cos20°)＋cos10°－＝1－cos30°cos10°＋cos10°－＝.]2．直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB的最大值为()A．B．C．D．C[∵A＋B＝，sinAsinB＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)，又－＜A－B＜，∴0＜cos(A－B)≤1，∴sinAsinB有最大值.]3．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sin·sin＝________.－[设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD(图略)，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－.]4．已知sinα＝，cosα＝，则tan等于________．－2[因为sinα＝>0，cosα＝>0，所以α的终边落在第一象限，的终边落在第一、三象限．所以tan>0，故tan＝＝＝－2.]5．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．[解]在直角三角形OBC中，OB＝cosα，BC＝sinα.在直角三角形OAD中，＝tan60°＝.∴OA＝DA＝sinα，∴AB＝OB－OA＝cosα－sinα.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AB·BC＝sinα＝sinαcosα－sin2α＝sin2α－(1－cos2α)＝sin2α＋cos2α－＝－＝sin－.∵0<α<，∴＜2α＋＜，∴当2α＋＝，即α＝时，S取最大值.∴当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为.
