【优化指导】2015年高中数学2.3平面向量的基本定理及坐标表示习题课课时跟踪检测新人教A版必修4一、选择题1．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a＋b＋c可表示为()A．3e1－2e2B．－3e1－3e2C．3e1＋2e2D．2e1＋3e2解析：a＋b＋c＝3e1＋2e2.答案：C2．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是()A．(4,8)B．(8,4)C．(－4，－8)D．(－4,8)解析：∵a∥b，a＝(1，－2)，∴存在实数λ，使b＝λa，结合选项可知，b可以是(－4,8)．答案：D3．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“⊕”为a⊕b＝(ms，nt)．若向量p＝(1,2)，p⊕q＝(－3，－4)，则向量q等于()A．(－3,2)B．(3，－2)C．(－3，－2)D．(－2，－3)解析：设向量q＝(x，y)，p⊕q＝(x,2y)＝(－3，－4)，∴x＝－3，y＝－2，故向量q＝(－3，－2)．答案：C4．△ABC的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)．若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D.解析：∵p＝(a＋c，b)，q＝(b，c－a)且p∥q，∴(a＋c)(c－a)－b·b＝0，即c2＝a2＋b2，∴角C的大小为.答案：C二、填空题5．已知点M(3，－2)，N(－5，－1)，若MP＝MN，则点P的坐标是________．解析：令P(x，y)，则MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)．∵MP＝MN，即(x－3，y＋2)＝(－8,1)，∴即∴P.答案：6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.解析：由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则AB＝(4,6)．又AB与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，得λ＝.答案：7．若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则用a，b表示OP为________．1解析：∵OP＝OP1＋P1P＝OP1＋λPP2＝OP1＋λ(OP2－OP)＝OP1＋λOP2－λOP，∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，∴OP＝OP1＋OP2＝a＋b.答案：a＋b三、解答题8.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，求m＋n的值．解：设AB＝a，AC＝b，则AO＝(AB＋AC)＝a＋b，又AO＝AM＋MO＝AM＋λMN＝AM＋λ(AN－AM)＝(1－λ)AM＋λAN＝a＋b.根据平面向量基本定理消去λ整理得m＋n＝2.9.已知△ABC的两边AB、AC的中点分别为M、N，在BN的延长线上取点P，使NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使MQ＝CM，求证：P、A、Q三点共线．证明：设AB＝a、AC＝b.由题意可知，AP＝AB＋BP＝a＋2BN＝a＋2(AN－AB)＝a＋2＝a＋b－2a＝b－a；AQ＝AC＋CQ＝b＋2CM＝b＋2(AM－AC)＝b＋2＝b＋a－2b＝a－b.显然，AP＝－AQ，所以AP，AQ共线．又因为AP，AQ有公共起点A.故P、A、Q三点共线．10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且OP＝OA＋tAB(t∈R)，求：(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在二、四象限角平分线上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．解：(1)OP＝OA＋tAB＝(1＋3t,2＋3t)，若点P在x轴上，只需2＋3t＝0，t＝－；若点P在二、四象限角平分线上，则1＋3t＝－(2＋3t)，t＝－；若点P在第二象限，则需⇒－＜t＜－.(2)OA＝(1,2)，PB＝(3－3t,3－3t)，若四边形OABP为平行四边形，则OA＝PB.无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．2
