第二章§22.1函数概念一、选择题1．符号y＝f(x)表示()A．y等于f与x的积B．y是x的函数C．对于同一个x，y的取值可能不同D．f(1)表示当x＝1时，y＝1[答案]B[解析]符号y＝f(x)是一个整体符号，表示y是x的函数，则A错，B正确；由函数的定义知，对于同一个自变量x的取值，变量y有唯一确定的值，则C错；f(1)表示x＝1对应的函数值，则D错．故选B.2．已知区间[－a,2a＋1)，则实数a的取值范围是()A．RB．[－，＋∞)C．(－，＋∞)D．(－∞，－)[答案]C[解析]结合区间的定义可知－a<2a＋1，∴a>－.3．函数f(x)＝的定义域为()A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)C．[1,2)D．[1,2)∪(2，＋∞)[答案]D[解析]使函数f(x)＝有意义，则即x≥1且x≠2.∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．4．函数f(x)＝(x∈R)的值域是()A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)[答案]C[解析]∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0<≤1，∴值域为(0,1]，故选C.5．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x＋1和y＝B．y＝x0和y＝1C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D．f(x)＝和g(x)＝[答案]D[解析]只有D是相等的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．6．函数f(x)的定义域是[0,3]，则f(2x－1)的定义域是()A．[，2]B．[0,3]C．[－1,5]D．(，2)[答案]A[解析]由f(x)定义域为[0,3]知，0≤2x－1≤3，即≤x≤2.二、填空题7．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.[答案]10[解析]本题考查了由函数值求自变量的值．由f(a)＝3得＝3两边平方得a＝10.8．函数y＝的定义域为______________，值域为______________．[答案][－1,2][解析]由－x2＋x＋2≥0得－1≤x≤2，又设t＝－x2＋x＋2的对称轴为x＝，顶点的纵坐标为＝＝，∴0≤t≤，∴y∈.三、解答题9．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)与f()，f(3)与f()．(2)由(1)中求出的结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现．(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f()＋f()＋…＋f()．[解析](1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝，f()＝＝，f(3)＝＝，f()＝＝.(2)由(1)中求的结果可发现f(x)＋f()＝1，证明如下：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＝1.(3)f(1)＝＝，由(2)知，f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，…，f(2015)＋f()＝1，∴原式＝＋1＋1＋…＋1]＝＋2014＝.10．求下列函数的值域：(1)y＝(1≤x≤2)．(2)y＝x－2＋3.(3)y＝x2－4x＋6(0≤x<5)．[解析](1)∵y＝2－，又1≤x≤2，∴2≤x＋1≤3，∴1≤≤，∴≤y≤1.故所求的值域为[，1]．(2)∵y＝x－2＋3＝(－1)2＋2≥2，故所求的值域为[2，＋∞)．(3)作函数y＝(x－2)2＋2(0≤x<5)的图像如图所示，由图可知2≤y<11.∴函数的值域为[2,11)．一、选择题1．函数y＝的定义域是()A．{x|x>0}B．{x|x>0或x≤－1}C．{x|x>0或x<－1}D．{x|00⇔>0⇔x>0或x<－1.2．若函数f(x)＝ax2－1，a为一个正常数，且f[f(－1)]＝－1，那么a的值是()A．1B．0C．－1D．2[答案]A[解析]f(－1)＝a－1，f[f(－1)]＝f(a－1)＝a(a－1)2－1＝－1，所以a＝1.二、填空题3．已知函数f(x)＝2x－3，x∈A的值域为{－1,1,3}，则定义域A为________．[答案]{1,2,3}[解析]值域为{－1,1,3}，即令f(x)分别等于－1,1,3求出对应的x，则由x组成的集合即为定义域{1,2,3}．4．下列函数中定义域与值域相同的是________．(1)y＝－x＋1；(2)y＝x2；(3)y＝.[答案](1)(3)[解析](1)x∈R，y∈R；(2)x∈R，y≥0；(3)x≠0，y≠0.故选(1)(3)．三、解答题5．已知函数f(x)＝.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－3)，f()的值．[解析](1)要使f(x)有意义，需满足，即x≥－4且x≠－2，∴f(x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，＋∞)．(2)∵f(x)＝，∴f(－3)＝＝－1，f()＝＝.6．已知函数f(x)＝x2＋x－1，求(1)f(2)；(2)f(＋1)；(3)若f(x)＝5，求x的值．[解析](1)f(2)＝4＋2－1＝5.(2)f(＋1)＝(＋1)2＋(＋1)－1＝＋＋1.(3)f(x)＝5，即x2＋x－1＝5.由x2＋x－6＝0得x＝2或x＝－3.7．已知函数f(x)＝＋.(1)求函数的定义域；(2)求f(－3)、f的值；(3)当a>0时，求f(a)、f(a－1)的值．[解析](1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．∴这个函数的定义域是{x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3且x≠－2}．(2)f(－3)＝＋＝－1；f＝＋＝＋＝＋.(3)∵a>0，∴f(a)、f(a－1)有意义．f(a)＝＋；f(a－1)＝＋＝＋.
