第27课时幂函数（2）江苏省通州高级中学严东来【教学目标】1．使学生进一步理解、掌握幂函数的概念、图象和性质．2．通过对幂函数的进一步研究，培养学生分析问题的能力．【学习指导】学习幂函数的时候，不仅仅要掌握幂函数的概念、图象和性质，更要注意对所学知识的灵活运用，这样才能通过平时的学习提高自己的能力．本节的重点就是对所学知识的灵活运用．【例题精析】例1．n取不同的有理数时，讨论幂函数y＝xn的定义域．【分析】幂函数y＝xn定义域不一定是R其定义域要依据n的具体情况而定，当n＜0时，定义域中必不会有0．【解法】当n∈N时，定义域是R．当n＝0时，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；当n∈Z－时，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；当n＝(p，q∈N，q＞1，p，q互质)时，如q为偶数时，定义域是[0，＋∞；当q是奇数时，定义域是(－∞，＋∞)．当n＝－(p，q值同上)时，如q为偶数时，定义域是(0，＋∞；当q是奇数，则定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．【评注】学习幂函数第1课时里研究了特殊的幂函数的定义域的问题，这里要求学生进一步研究一般的幂函数的定义域的问题，这是一种由由特殊到一般的思想方法，由特殊到一般是数学里经常采用的思想方法，通过这道题可以体会这一思想方法．例2．幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在第一象限的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()A.a＞b＜c＜d；B.d＞b＜c＞a；用心爱心专心OyC.d＞c＞b＞a；D.b＞c＞d＞a【分析】重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．【解法】由幂函数的性质，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有b＞c＞d＞a，∴选D．【评注】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例4．如果函数是幂函数，且在区间上是减函数，求满足条件的实数的集合．【分析】我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在上是减函数．由幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数．的系数只能是１，从而得到；又由于该幂函数在上是减函数，由幂函数的性质可知，，即．由以上两条可求出满足所求的的范围．【解法】据题意得且．解得m=2或m=-1（舍去）∴m=2【评注】要注意最简单的概念和性质的灵活运用．例４已知，求的取值范围．【分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１根据函数在其定义域内单调减，得．为所求．用心爱心专心x错解２根据函数在和上均为减函数得：…⑴，…⑵解得：为所求．错解１是函数性质运用错误，函数在和上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况．【解法】因为在和上为减函数，时，；时，．原不等式可以化为：…⑴，…⑵，…⑶．⑴无解；⑵的解为；⑶的解是．所以所求的的取值范围为．【评注】本题实质上是解不等式，由于不等式的左右两边的幂指数都是，因此可借助于幂函数的图象性质来求解．正确思路是数形结合思想的运用．利用函数图象特征了解函数的性质，利用函数性质去解不等式．例5．已知幂函数y＝x，(p∈Z)，在(0，＋∞)内，y随x增大而增大，且在定义域内图象关于y轴对称，⑴求p值及相应的f(x)．⑵对于⑴用心爱心专心中所求函数f(x)，设函数问是否存在，使得g(x)在区间上是减函数且在区间（-4，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．【解法】⑴f(x)在(0，＋∞)内，y随x的增大而增大．则－p2＋p＋＞0，解之－1＜p＜3，又p∈Z，∴p＝0，1，2．又f(x)图象关于y轴对称．∴－p2＋p＋是偶数，∴p＝1，f(x)＝x2．⑵本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【评注】适当适时的与同学们一起探究一些有一定思维深度的问题对提高同学的思维能力有一定的帮助．【本课练习】１．函数的定义域是（）A．B．C．D．2．函数的值域是（）A．［0，＋∞］B．（0，...
