专题09幂函数与函数零点模块一：幂函数1.幂函数：一般地，形如()yxR的函数称为幂函数，其中为常数．2.幂函数的图象当分别为1，12，1，2，3时，幂函数图象如下图：3.幂函数的性质⑴所有的幂函数在(0)，都有定义，并且图象都通过点11，；⑵如果0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0)，上是增函数；⑶如果0，则幂函数在区间(0)，上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴．当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．⑷幂函数的奇偶性决定幂函数过的象限．奇函数过一、三象限；偶函数过一、二象限；非奇非偶函数只过第一象限．⑸当为负奇数时，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限，但不过原点；⑹当为正分数时，设为nm（m，n是互质的正整数）．①如果m，n都是奇数，幂函数为奇函数，图象过第一、三象限及原点；如5533yxx是奇函数，图象为：xyy=x12y=x-1y=xy=x3y=x2O11Oyx②如果m是偶数，n为奇数，幂函数为非奇非偶函数，图象在第一象限及过原点；如3344yxx是非奇非偶函数，∴图象只在第一象限，即③如果m为奇数，n为偶数，幂函数为偶函数，图象过第一、二象限及原点．如2233yxx是偶函数，图象为：⑺当为负分数时，设为nm（m，n是互质的正整数）．①如果m，n都是奇数，幂函数为奇函数，图象在第一、三象限；②如果m为偶数，n为奇数，幂函数的图象只在第一象限；③如果m为奇数，n为偶数，幂函数为偶函数，图象在第一、二象限．如23231yxx是偶函数，图象为考点1：幂函数的图像与性质例1.（1）已知21212223mymmxn是幂函数，求mn，的值.【解答】（2）幂函数在上为增函数，则的取值是A．或B．C．D．【解答】解：幂函数在上为增函数，则，解得．故选：．xyOxyOxyO模块二：函数的零点1.函数的零点（1）一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.要点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；③函数的零点就是方程的实数根．④零点都是指变号零点（函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点）．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．考点2：函数的零点判断例1.（1）设．则在下列区间中，使函数有零点的区间是A．B．C．D．【解答】解：（1），（2），（1）（2），则在内函数存在零点，故选：．例2.（1）已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为A．B．C．D．【解答】解：函数有3个零点，即函数的图象与的图象有3个交点．如图，由图可知，当直线过原点时，满足题意；联立，得．由△，得．若函数有3个零点，则实数的取值范围为，．故选：．（2）设函数，．若存在两个零点，则的取值范围是．【解答】解：由题意可得有两个不同的实根，即函数的图象与直线有两个交点，作出的图象和直线，当直线经过点时，可得，即；当直线经过点可得，即，可得时，直线和的图象有两个交点，故答案为：，．例3.已知，则函数的零点个数为．【解答】解：根据题意，函数，若，解可得或，若，即，即，解可得，若，即，即，解可得或，则函数有3个零点；故答案为：3课后作业：1．函数的零点所在区间为A．B．C．D．【解答】解：函数是增函数，（1），（2），（1）（2），的零点所在区间为．故选：．2．函数的零点的个数为A．0B．1C．2D．3【解答】解：当时，，令，解得，当时，，则的解等价于函数与图象在时的交点的横坐标，作出函数与图象如下：由图可知，此时两图象有一个交点，故时，有一个解，综上共两个零点．故选：．3．函数的零点个数最多是A．2B．3C．4D．5【解答】解：函数的零点的个数，即为函数与的图象交点个数，在同一坐标系内分别作出函数与的图象，知两函数图象最多有4个交点，即函数的零点个数最多是4．故选：．4．已知幂函数在上单调递增，则值为．【解答】解：幂函数在上单调递增，，且，解得，故答案为：2．
