24．万有引力与时空弯曲一．实验目的1．观测钢球运动，掌握开普勒定律2．利用曲面模拟引力势能曲线3．通过钢球运动模拟动能与势阱的作用4．直观理解广义相对论——引力源于弯曲5．观测理解“弯曲时空”导致近日点进动二．实验仪器实验在大型双曲面组成的漏斗状玻璃钢制的槽中进行。槽下贮存有钢质球若干。实验者摇动手柄十余圈，带动齿链，再经齿轮箱传动来转动凸轮，依次向上推出钢球，并使其在曲面上作椭圆运动，并形成进动。三．实验原理与内容１）开普勒定律验证２）势能曲线：ａ．引力势能；ｂ．重力势能３）引力势阱与动能４）引力是“弯曲时空”的表现５）近日点的进动原理1．开普勒定律验证观测：关于行星运动的开普勒第一定律指出：行星轨道是椭圆，太阳位于其中一个焦点上。第二定律指出：行星对太阳的径矢，在相等的时间内扫过相等的面积（图1）。九大行星是在以太阳为核心的平面上沿着椭圆轨道周期地运动着。由于引力的方向在任何时刻总是与行星对于太阳的径矢方向相反而平行，所以行星所受的太阳引力之力矩，对太阳为心而言，恒等于零。亦即行星对太阳的角动量将保持不变。SindtdrmrmvrSinLtSinrrmt0limdtdsmtsmt2lim20其中△S=1/2（rï△rïSinα），是r和△r组成窄三角形的面积（△r→0时，Sinα→1）。dtds是行星对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积，称为行星的掠面速度。L不变，即ddtds不变。所以，角动量守恒定律直接就导出了开普勒第二定律，见图1。开普勒定律是在对行星运动的长期观测与大量的数据积累基础上才总结出来的，它为牛顿定律奠定了坚实的实验基础与理论基础。因此，牛顿才说他是站在了巨人的肩膀上，才1图1会有新的发现。在本实验中，可以观察到钢球的椭圆运动，可以观测其径矢的掠面速度，从而验证开普勒第二定律。但是，要注意，钢球并不是在平面上运动。由于双曲面拟合了引力势能曲线，曲面就代表了引力作用。所以，钢球运动在初期，近似在平面上运动，可以明显看到掠面速度相等、椭圆运动的周期相同。中期，椭圆运动周期缩短，但是相同时间掠过的总面积依然相同。后期，钢球运动仍然符合开普勒定律，只是更难以与初期的钢球运动来作比较，需重复观测、体验。“如果说我比多数人看得远一些的话，那是因为我站在巨人们的肩上。”牛顿（IsaacNewton,1642-1727）2.势能曲线引力势能曲线（图2）：引力是保守力，可以引进势能概念。即引力作功与路径无关，只取决于两质点的始末相对位置（即位形）。这个由位形决定的函数即称为系统的势能函数。ababpbpaArmmGrmmGEE2121若规定rb→∞时，Epb=0。当m1、m2两质点相距r时，其引力势能为：rmmGEp21其中负号表达的意义是：两质点从相距r的位形改变为零势能位形的过程中，引力总是在作负功。本实验仪中的大面积由双曲线旋转而成的漏斗状的曲面，就是拟合了引力势能：rmmGEp21，形成了一个引力场模拟。‚重力势能曲线（图3）：重力是万有引力现象的特例，是物体m与地球M组成的系统，在地球表面附近区域的相互作用。abpbparmMGrmMGEE若规定rb=R时，Epb=0。当ra=R+h>R时，其引力势能为：hRmMGRmMGEpb)11(hRRGmMhRmMGhRRhGmM2)(取重力加速度：g=GM/R2，得到重力势能：Ep=mgh，重力势能曲线为斜直线（图4），其实它只是引力势能曲线中的某一小段而已。3.引力势阱与动能势阱：实验中，曲面空间就表征着引力的作用rmmGF21。钢球在漏斗状双曲面上运动，2图2.引力势能曲线图3图4虽有一定的动能221mvEk，但却不足以脱离该曲面。不论转动多少圈，最终总是陷落在阱中，这正是引力势能rmmGEp21的势阱作用，由曲面表达（图5）。宇宙速度：如果在实验中使钢球具有足够的动能，则有可能克服势阱，维持椭圆运动，或是逃逸出曲面空间。以这样的引力势阱—曲面，也可模拟环绕地球的卫星运动或环绕太阳的行星运动，及脱离他们的条件—逃逸速度。第一宇宙速度v1—物体维持其不停的绕地球表面附近作圆周运动所必需的最小速度。由牛顿第二定律：mgRvmmaFn21,可求得：smRgv/10*9.731(R=6.4*106m)第二宇宙速度v2—物体从地面出发，并能逃脱地...
