数学概念理解数学概念理解的教学设计就数学概念的理解而言，可有这样几个层面的思考：逻辑的、数学史的、教育心理学的、数学心理学的等。这些层面的思考对数学概念教学都各有其不同寻常的作用，可常思考。依逻辑而论，数学概念一般都有其内涵与外延之限定。数学概念是对客观世界中各种“事物的量”[1]的思维反映。其内涵就是“事物的量”，而其外延则是“事物的量”的范围。譬如，“数”之概念，其内涵就是“事物的数量关系”，其外延则是“事物的数量关系”之所有；再譬如，“形”之概念，其内涵就是“事物的空间形式”，其外延则是“事物的空间形式”之所有。“事物的数量关系”和“事物的空间形式”都是“事物的量”。至于具体的“数量关系”和“空间形式”就更是如此了。譬如，自然数，其外延就是皮亚诺公理[2]所界定的对象之全部N，其内涵则是“皮亚诺公理”；再譬如，梯形，其内涵就是“只有一组对边平行的四边形”，其外延则是具有“只有一组对边平行”这一性质的所有四边形。此外，数学概念的内涵与外延之间还具有反变关系，即某一数学概念内涵的增加必然导致其外延的缩小，其内涵的减少必然导致其外延的扩展；反之亦然。这些都是数学概念学习的逻辑前提，不可违背。据数学史而言，数学概念的内涵和外延一般都是发展变化而不是一成不变的。譬如，仅就“数”的概念发展来说，自然数的概念最早就不包括“0”，因为“空无一物”就无所谓“多少”之“数量关系”，但随着人们认识的深入，“空无一物”即是“无物”便也就是“现实”的“最少”之“多少”“数量关系”；“负数”也曾不属于“数”的范畴，因为现实从不欠账，但现实中“相反意义”的量的存在却给予“负数”以更加“现实的价值”；现实中各种相关量之间的“比较”使得“分数”成为“有理数”，而“无理数”之名称就业已表明其相对于“有理数”之“整数之比”的“毫无道理”；“数”的概念发展至此，便开始走向“纯粹的”人的自由的创造阶段，因为“除了自然数之外，其它一切（数）都是人创造的”：无理数、虚数、四元数、„„这些都是相关数学概念学习的历史文化境遇
