__二次函数与一元二次方程的联系VIP专享VIP免费

1.4二次函数与一元二次方程的联系探究：•画出二次函数y=x2-2x-3的图象，你能从图象中看出它与x轴的交点吗？•二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标分别是（-1,0），（3,0）.由交点坐标可知，当x=-1时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=-1是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.同理，当x=3时，y=0，即x2-2x-3=0，也就是说，x=3是一元二次方程x2-2x-3=0的一个根.小结：•一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点（x1,0），（x2,0），那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根x=x1，x=x2.动脑筋：•观察二次函数y=x2-6x+9，y=x2-2x+2的图象（如图），分别说出一元二次方程x2-6x+9=0，x2-2x+2=0的根的情况.二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有重合的两个交点，其坐标都是（3,0），而一元二次方程x2-6x+9=0有两个相等的实根，x1=3，x2=3.二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点，而一元二次方程x2-2x+2=0没有实数根.小结：•一般地，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的位置关系有三种：有两个不同的交点、有两个重合的交点、没有交点.这对应着ax2+bx+c=0（a≠0）的根三种情况：有两个不相等的实根、有两个相等的实根和没有实数根.反过来，由一元二次方程根的情况，也可以确定相应的图象与x轴的位置关系.从上面的分析可知，我们可以利用二次函数的图象来求一元二次方程的根，由于作图或者观察的误差，由图象求得的根，一般是近似的.221yxx解求一元二次方程的解的近似值（精确到0.1）0122xx从例1受到启发，一元二次方程的解就是：抛物线与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.0122xx2(211)1xx2(1)2.xx对称轴是＝１，顶点坐标是（１，－２）列表x122.53－2－10.2522(1)2yx从图量得抛物线与x轴的交点的横坐标约为－0.4或2.4，因此方程的解的近似值为－0.4或2.42210xx描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分.利用对称性画出图象在对称轴左边的部分，这就得到了的图象，如图24－224－21－1例2如图，丁丁在扔铅球时，铅球沿抛物线运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.（1）当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离是多少？（2）铅球离地面的高度能否达到2.5m，它离初始位置的水平距离是多少？（3）铅球离地面的高度能否达到3m？为什么？58106102xxy解（1）由抛物线的表达式得即x2-6x+5=0，解得x1=1，x2=5.即当铅球离地面的高度为2.1时，它离初始位置的水平距离是1m或5m.（2）由抛物线的表达式得即x2-6x+9=0，解得x1=x2=3.当铅球离地面的高度为2.5时，它离初始位置的水平距离是3m.（3）由抛物线的表达式得即x2-6x+14=0，因为△=（-6）2-4×1×14<0，所以方程无实数根.所以铅球离地面的高度不能达到3m.58106101.22xx58106105.22xx581061032xx1.求下列抛物线与x轴的交点的横坐标：212yxx它与x轴有交点，则y=0220xx解这个方程（x－2）（x+1）=0∴x1=2,x2=－1∴与x轴交点的横坐标为（2,0）（－1，0）解229124yxx它与x轴有交点，则y=0291240xx∴x1=x2=∴与x轴交点的横坐标为（，0）2323解2321yxx它与x轴有交点，则y=02210xx∴x=1∴与x轴交点的横坐标为（1，0）解3.用图象法求一元二次方程的解的近似值（精确到0.1）210xx解：设二次函数y=x2+x-1做出二次函数y=x2+x-1的图象如图所示通过观察图象可知，抛物线与x轴的交点坐标约为x1=-1.6，x2=0.6.即一元二次方程x2+x-1=0的实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.结束寄语•生活是数学的源泉.下课了!•探索是数学的生命线.