1空间向量与立体几何1．如图，三棱柱中，底面，是的中点，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【试题来源】北京市昌平区2020届高三（6月份）数学适应性试题【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）连结，交于，则是的中点，连结，是的中点，，平面，平面，平面．（2）三棱柱中，底面，是的中点，，．，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，0，，，0，，，1，，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2设平面的法向量，，，则，取，得，，，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．2．如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，E为上的动点．（1）确定E的位置，使平面；（2）设，，且在第（1）问的结论下，求二面角的余弦值．【试题来源】云南省文山州2021届高三年级10月教学质量检测（理）【答案】（1）E为的中点；（2）．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3【分析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，可证，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．【解析】（1）E为的中点，连接，使交于点O，取的中点为E，连接，因为O，E分别为，的中点，所以．又平面，平面，所以平面．（2）分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，，，，，所以，，所以平面的法向量为．设平面的法向量为，由，令，则，，所以，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4所以二面角的平面角的余弦值为．3．如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】天津市滨海七校2020届高三下学期毕业班联考【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或．【解析】（1）由题意，因为，，，所以，又所以，所以，因为侧面，所以．又因为，，平面，所以直线平面．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，，因为，所以，令，则，所以设平面的一个法向量为，，，因为，所以，令，则，所以，，，，所以．设二面角为，则．所以设二面角的余弦值为．（3）假设存在点，设，因为，，所以，所以所以设平面的一个法向量为，原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6所以，得．即，所以或，所以或．4．如图四棱锥，底面是等腰梯形，，平分且，平面，平面与平面所成角为60°．（1）求证：．（2）求二面角的余弦值．【试题来源】山东省实验中学2020-2021学年高三第一次诊断考试（10月）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：因为平面，所以．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7又因为，，所以平面，平面，所以．（2）证明：等腰梯形中，设．因为且平分，，，则，，所以，．，则中．以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．，，，，，平面法向量，设平面法向量为，，有，即，令，所以，，所以，平面法向量，，，平面法向量，，即，令，所以．，所以二面角的余弦值为．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！85．如图，在正方体中，分别是的中点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论．【试题来源】山东省济宁市实验中学2020-2021学年高二10月月考【答案】（1）；（2）存在点，满足，使得平面；证明见解析【解析】以为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9设正方体棱长为，则，，，，，，，（1）设异面直线与所成角为，，，，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）假设在棱上存在点，，使得平面则，，，设平面的法向量，，令，则，，，，解得，棱上存在点，满足，使得平面．【名师点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角、存在性问题的求解，重点考查了空间...
