解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法VIP免费

解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法——直接法、间接法—网搜罗类型一找线段对应的三角形，利用相似证明1．(虹口区模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的平分线，BE⊥AE，垂足为点E，求证：BE2＝DE·AE.2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.求证：＝.3．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，M，N分别为垂足．求证：＝.第1页共5页类型二利用等线段代换证明4．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：＝.5．如图，已知AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AD于F.求证：DE2＝BE·CE.6．如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BE⊥AC且交AC于F，过F作FG∥AB，交AE于G.求证：AG2＝AF·CF.第2页共5页类型三找中间比利用等积式代换7．如图，在△ABC中，点D为BC的中点，AE∥BC，ED交AB于P，交AC的延长线于Q.求证：PD·EQ＝PE·DQ.8．★如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F.求证：AC·CF＝BC·DF.9．★如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，点E为AC的中点，ED的延长线交AB于F.求证：＝.第3页共5页解题技巧专题：比例式、等积式的常见证明方法1．证明：∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD.∵∠C＝90°，AE⊥BE，∴∠ADC＋∠CAD＝∠BDE＋∠DBE.∵∠ADC＝∠BDE，∴∠CAD＝∠DBE，∴∠BAD＝∠DBE，∴Rt△ABE∽Rt△BDE，∴＝，∴BE2＝DE·AE.2．证明：证法一：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BAC＝∠BDC，∠BFA＝∠CFD，∴180°－∠BAC－∠BFA＝180°－∠BDC－∠CFD，即∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD，∴＝.证法二：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAE＝∠DAE＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD.又∵∠BEA＝∠DAE＋∠ADE，∠ADC＝∠BDC＋∠ADE，∠DAE＝∠BDC，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD，∴＝.3．证明：在▱ABCD中，∠B＝∠D，AD＝BC，又∵∠AMB＝∠AND＝90°，∴Rt△AMB∽Rt△AND，∴＝＝.又∵AB∥CD，AN⊥CD，∴AN⊥AB.∴∠BAM＋∠MAN＝∠BAM＋∠B＝90°，∴∠B＝∠MAN，∴△AMN∽△BAC，∴＝.4．证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB.又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴＝，∴＝.又∵AB＝AD，∴＝.5．证明：如图，连接AE.∵EF垂直平分AD，∴AE＝DE，∴∠DAE＝∠4.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠1＝∠2.∵∠DAE＝∠2＋∠3，∠4＝∠B＋∠1，∴∠B＝∠3.又∵∠BEA＝∠AEC，∴△BEA∽△AEC，∴＝，∴AE2＝BE·CE，∴DE2＝BE·CE.6．证明：∵BE⊥AC，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∴∠ABF＋∠BAF＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABF＋∠CBF＝90°，∴∠BAF＝∠CBF，∴△ABF∽△BCF，∴＝，∴BF2＝AF·CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠BCE＝90°.又∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE，∴AE＝BE.∵GF∥AB，∴＝，∴AG＝BF，∴AG2＝AF·CF.7．证明：∵AE∥DC，∴△QCD∽△QAE，∴＝.∵AE∥BD，∴△BDP∽△AEP，∴＝.∵点D为BC的中点，∴BD＝CD，∴＝，即PD·EQ＝PE·DQ.8．证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，∴△ADC∽△CDB，∴＝.∵E为BC的中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，∴∠FDC＝∠FAD.又∵∠F＝∠F，∴△FDC∽△FAD，∴＝，∴＝，∴＝，∴AC·CF＝BC·DF.9．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠CDA＝90°，∠BAD＋∠CAD＝第4页共5页90°，∴∠CAD＋∠C＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△ABD∽△CAD，∴＝.在Rt△ADC中，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC.又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FDB＝∠BAD，即∠FDB＝∠FAD.又∵∠F＝∠F，∴△DFB∽△AFD，∴＝.∴＝.更多请关注“初中教师平台”公众号初中名师聚集地全新升级助力初中教学各科最新优质资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧~第5页共5页