10.110.1分类计数原理分类计数原理与与分步计数原理分步计数原理2024年12月17日2006年德国世界杯有32只队伍参赛,先分成8个小组进行循环赛，决出16强，进行淘汰赛产生前4强，最后决出冠亚军和第三、第四名.问一共要安排多少场比赛？思考下面的问题:随着科学技术的进步、社会的发展，使得许多问题的解决呈多样化.排列和组合就是讨论完成一件事情有多少种不同方法的问题，今天我们就来学习排列、组合的基础两个基本原理：分类计数原理与分步计数原理.狐狸想从草地逃到小岛，可以走水路,也可以走陆路，走水路有2艘船，走陆路有3辆车，问：乘坐这些交通工具,共有多少种不同的方法，可以从草地逃到小岛？狐狸总共有多少种方法逃到小岛？问题剖析(1)要我们做什么事情完成这个事情有几类方法每类方法能否独立完成这件事情每类方法中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法草地到小岛2类能2种、3种2+3=5种水路2种陆路3种如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢?2+3+4=9种草地小岛如果狐狸还有m3辆自行车可以选择呢？N=m1+m2+m3如果狐狸从草地到小岛的交通工具有n类，第一类m1种，第二类有m2种，...，第n类有mn种不同的方法，那么狐狸到安全地有多少种不同的方法？N=m1+m2+…+mn狐狸总共有多少种方法逃到小岛？水路m1种陆路m2种草地小岛N=m1+m2做一件事情，完成它可以有n类，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的方法，…，在第n方法中有mn类不同的方法，那么完成这件事情共有:N=m1+m2+…+mn（加法原理）相互独立直达目的种不同的方法关于分类计数原理的几点注意：⑴各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加；⑵分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；⑶完成这件事的任何一种方法“必属于且只能属于”某一类----不重不漏．例1.书架的第一层有6本不同的数学书,第二层有6本不同的英语书,第三层有10本不同的语文书,现想从书架上取一本书,共有多少种不同的方法？问题剖析(1)要我们做什么事情完成这个事情有几类方法每类方法能否独立完成这件事情每类方法中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法有三类方法能6种、7种、10种6+7+10=23种从书架上拿一本书狐狸有一共有多少种不同的方法，可以从草地逃回到自己的家（安全地）？问题剖析(2)要我们做什么事情完成这个事情要分几步每步方法能否独立完成这件事情每步方法中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法草地到安全地2步不能5种、2种5×2=10种4种方法a1a2a3a4a5b1b22种方法安全地5种方法草地小岛别墅如果狐狸还有4种方法到别墅压惊呢?5×2×4=40种做一件事情，完成它可以有n步，在第一步办法中有m1种不同的方法，在第二步中有m2种不同的法，…，在第n步方法中有mn不同的方法，那么完成这件事情有：N=m1×m2×……×mn种不同的方法（乘法原理）相互联系分步到达同分类计数原理一样，有：关于分步计数原理的几点注意：⑴各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘；⑵分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；⑶完成这件事的任何一种方法“必须并且只需”连续完成每一个步骤----不多不少．例2.书架的第一层有6本不同的数学书，第二层有7本不同的英语书，第三层有10本不同的语文书，现从书架第一层、第二层、第三层各取一本书，共有多少种不同的方法？问题剖析(2)要我们做什么事情完成这个事情有几个步骤每个步骤能否独立完成这件事情每个步骤中分别有几种不同的方法完成这件事情共有多少种不同的方法有三个步骤6种、7种、10种6×7×10=420种从书架上每层拿一本书不能做一件事情，完成它可以有n类，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类中有m2种不同的法，…，在第n类方法中有mn类不同的方法，那么完成这件事情共有种不同的方法做一件事情，完成它需要分成n个步骤，在第一步有m1种不同的方法，在第二步有m2种不同的法，…，在第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有（加法原理）（乘法原理）分类计数原理分步计数原理N=m1+m2+……+mnN=m1×m2×……×...
