每日训练题（2015年3月20日）1．(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()．A.B.C．3D.22．(2014·广州测试)已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为_________．3.(2014·成都调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1,0)，点H(1，)在椭圆上．(1)求此椭圆方程；(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝b2上，M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，问|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．每日训练题（2015年3月20日）答案1.A2.3.解(1)∵右焦点为F2(1,0)，∴c＝1，∴左焦点为F1(－1,0)．又点H(1，)在椭圆上，∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝4，∴a＝2，b＝＝，故所求椭圆方程为＋＝1.(2)如图所示：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴＋＝1(|x1|≤2)，∴|PF2|2＝(x1－1)2＋y＝(x1－1)2＋3(1－)＝(x1－4)2，∴|PF2|＝(4－x1)＝2－x1.连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2＝|OP|2－|OM|2＝x＋y－3＝x＋3(1－)－3＝x，∴|PM|＝x1，∴|PF2|＋|PM|＝2－x1＋x1＝2.同理可求：|QF2|＋|QM|＝2－x2＋x2＝2.所以|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝2＋2＝4为定值．
