21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于,两点，点的坐标为．(1)当与轴垂直时，求直线的方程；(2)设为坐标原点，证明：．【解析】(1)由已知得，的方程为．由已知可得，点的坐标为或．所以的方程为或．(2)当与轴重合时，．当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以．当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，，直线，的斜率之和为．由，得．将代入得．所以，，．则．从而，故，的倾斜角互补，所以．综上，．24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．(1)求的方程；(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．又由知，C不经过点，所以点在C上．因此，解得．故C的方程为．（2）设直线与直线的斜率分别为，，如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）．则，得，不符合题设．从而可设：（）．将代入得由题设可知．设，，则，．而．由题设，故．即．解得．当且仅当时，，欲使：，即，所以过定点（2，）25．（2017新课标Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）设点在直线上，且．证明：过点且垂直于的直线过的左焦点．【解析】（1）设，，则，，．由得，．因为在上，所以．因此点的轨迹方程为．（2）由题意知．设，，则，，，，，由得，又由（1）知，故．所以，即．又过点存在唯一直线垂直与，所以过点且垂直于的直线过的左焦点．30．(2015新课标2）已知椭圆C：()，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边行？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【解析】()Ⅰ设直线，，，．将代入得，故，．于是直线的斜率，即．所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形能为平行四边形．因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，．由()Ⅰ得的方程为．设点的横坐标为．由得，即．将点的坐标代入直线的方程得，因此．四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即．于是．解得，．因为，，，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形．34．(2014新课标1)已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．（Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．【解析】（Ⅱ）．36．（2014新课标2）设，分别是椭圆：的左，右焦点，是上一点且与轴垂直，直线与的另一个交点为．（Ⅰ）若直线的斜率为，求的离心率；（Ⅱ）若直线在轴上的截距为2，且，求．【解析】（Ⅰ）根据及题设知将代入，解得（舍去）故C的离心率为．（Ⅱ）由题意，原点为的中点，∥轴，所以直线与轴的交点是线段的中点，故，即①由得。设，由题意知，则，即代入C的方程，得。②将①及代入②得解得，故.
