课时提升练(二十二)正弦定理和余弦定理的应用举例一、选择题1．如图379所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()图379A.B.C.D.【解析】由题意可得，在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.故选A.【答案】A2．在湖面上高为10m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1m)()A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m【解析】依题意画出示意图．则＝，∴CM＝×10≈37.3(m)．【答案】C3．如图3710所示，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()图3710A．30°B．45°C．60°D．75°【解析】依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.【答案】B4．如图3711所示，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，则∠DEF的余弦值为()1图3711A.B.C.D.【解析】如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝＝＝10(m)，DE＝＝＝130(m)，EF＝＝＝150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF＝＝＝.故选A.【答案】A5．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10m(如图37-12所示)，则旗杆的高度为()图3712A．10mB．30mC．10mD．10m【解析】如图，在△ABC中，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°.由正弦定理得＝，所以BC＝20×＝20(m)，在Rt△CBD中，CD＝BCsin60°＝20×＝30(m)．【答案】B6．如图3713所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()2图3713A.B.C.D.【解析】如题图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20，由正弦定理得，∴sin∠ACB＝sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.【答案】B二、填空题7．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为________km.【解析】如图，由已知得∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·ACcos120°，即32＝22＋x2－2×2xcos120°，即x2＋2x－5＝0，解得x＝－1.【答案】－18．一船由B处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C，D恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A处，看见灯塔C在它的南偏西60°方向，灯塔D在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是________海里/小时．【解析】如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，得AB＝5，于是这艘船的速度是＝10(海里/小时)．【答案】109．如图3714所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．3图3714【解析】由条件可知OD＝2×50＝100米，DC＝3×50＝150米．且∠ODC＝60°，在△OCD中，OC2＝OD2＋DC2－2×OD×DC×cos60°＝1002＋1502－2×100×150×＝17500，∴OC＝50(米)．【答案】50三、解答题10.如图3715所示，A，B是海面上位于东...
