高中数学：求函数值域的方法十三种VIP专享VIP免费

高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆）二、配方法（☆）三、分离常数法（☆）四、反函数法（☆）五、判别式法（☆）六、换元法（☆☆☆）七、函数有界性八、函数单调性法（☆）九、图像法（数型结合法）（☆）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法：从自变量的范围出发，推出的取值范围。【例1】求函数的值域。【解析】 ，∴，∴函数的值域为。【例2】求函数x1y的值域。【解析】 0x∴0x1显然函数的值域是：),0()0,(【例3】已知函数，，求函数的值域。【解析】因为，而，，所以：注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为，则函数的值域为。二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。【例1】求函数的值域。【解析】将函数配方得： 由二次函数的性质可知：当x=1∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知，求函数的最值。第1页共23页【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。图2【例2】若函数时的最小值为，（1）求函数（2）当[-3,-2]时，求g(t)的最值。（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法）【解析】(1)函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。②如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。③如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值第2页共23页综上讨论，g(t)=(2)时，为减函数在上，也为减函数，【例3】已知，当时，求的最大值．【解析】由已知可求对称轴为．（1）当时，．（2）当，即时，．根据对称性若即时，．若即时，．（3）当即时，．综上，观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时第3页共23页当时【例4】(1)求在区间[-1,2]上的最大值。(2)求函数在上的最大值。【解析】(1)二次函数的对称轴方程为，当即时，；当即时，。综上所述：。(2)函数图象的对称轴方程为，应分，，即，和这三种情形讨论，下列三图分别为（1）；由图可知（2）；由图可知（3）时；由图可知第4页共23页；即【例5】已知二次函数在区间上的最大值为3，求实数a的值。【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分与两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程就简明多了。具体解法为：（1）令，得此时抛物线开口向下，对称轴方程为，且，故不合题意；（2）令，得此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（3）若，得此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意。综上，或解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。【变式】已知函数在区间上的最大值为4，求实数a的值。【解析】（1）若，不符合题意。（2）若则第5页共23页由，得（3）若时，则由，得综上...