2013年高考数学总复习第三章第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为()A.B.C.D.答案：D2．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长是()A.B.C.D.解析：选A.由＝，得b＝＝＝，∵B角最小，∴最短边是b.3．(2012·济南质检)在△ABC中，角A、B均为锐角，且cosA>sinB，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：选C.cosA＝sin(－A)>sinB，－A，B都是锐角，则－A>B，A＋B<，C>.4．已知A、B两地间的距离为10km，B、C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地间的距离为()A．10kmB.kmC．10kmD．10km解析：选D.利用余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝102＋202－2×10×20×(－)＝700，∴AC＝10(km)．5．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.海里/时B．34海里/时C.海里/时D．34海里/时解析：选A.如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得＝，∴MN＝68×＝34(海里)．又由M到N所用时间为14－10＝4(小时)，∴船的航行速度v＝＝(海里/时)．二、填空题6．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．解析：如图，设BD＝xm，则142＝102＋x2－2×10×xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴(x－16)(x＋6)＝0，∴x＝16或x＝－6(舍)．答案：167．在直径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的高度为________m.解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5m.1答案：58.如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要________小时到达B处．解析：由题意，对于CB的长度，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝100＋400＋200＝700.∴CB＝10(海里)，∴甲船所需时间为＝(小时)．答案：三、解答题9．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔高．解：依题意画出图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大．要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC)．在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°.由正弦定理，得＝，∴BD＝＝20.在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，BE＝BDsin15°＝20×＝10(－1)(米)．在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝(3－)(米)．∴所求的塔高为(3－)米．10.如图，南山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架了一条索道AC，小李在山脚B处看索道，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米到达D处，回头看索道，发现张角∠ADC＝160°，从D处再攀登800米到达C处，问索道AC长多少？(精确到米，使用计算器计算)解：在△ABD中，BD＝400米，∠ABD＝120°.∵∠ADC＝160°，∴∠ADB＝20°，∴∠DAB＝40°.∵＝，∴＝，∴AD≈538.9米．在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝160°，∴AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝538.92＋8002－2×538.9×800·cos160°≈1740653.8，∴AC≈1319米．∴索道AC长约1319米．11.2(探究选做)某单位在抗雪救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.6)解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000m，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝＝CD，在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，CD＝6000m，∠BCD＝30°，根据正弦定理BD＝＝CD.又在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，根据勾股定理有AB＝＝CD＝1000m，实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6m.3
