2．3.2平面与平面垂直的判定学习目标预习导学典例精析栏目链接掌握二面角的概念，会求简单的二面角的大小，掌握平面与平面垂直的判定定理，并能灵活应用．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例精析题型一学习目标预习导学典例精析栏目链接例1如图所示，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△BCD，△ABC都全等，且AB＝AC＝，BC＝2，求以BC为棱，以△BCD和△BCA为面的二面角的大小．分析：由题目可知，本题主要考查二面角的概念和全等三角形的有关知识以及解三角形的有关知识．解决本题的关键是看清图形的对称性，由于是具有公共边的两个等腰三角形，所以根据二面角的平面角的定义很容易作出二面角的平面角．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：如图，取BC的中点E，连接AE，DE，∵AB＝AC，∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△ACD，AB＝AC，∴DB＝DC，∴DE⊥BC，∴∠AED为二面角ABCD的平面角．又∵△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，△DBC也是以BC为底的等腰三角形．∴AB＝AC＝DB＝DC＝3，学习目标预习导学典例精析栏目链接又△ABD≌△BDC，∴AD＝BC＝2，在Rt△DEB中，DB＝3，BE＝1，∴DE＝DB2－BE2＝2，同理AE＝2，在△AED中，∵AE＝DE＝2，AD＝2，∴AD2＝AE2＋DE2，∴∠AED＝90°，∴以△BCD和△BCA为面的二面角的大小为90°.学习目标预习导学典例精析栏目链接点评：(1)求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件．即这个角的顶点是否在棱上，角的两边是否分别在两个平面内，这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧．如本例中，充分利用图形的对称性(即有公共底边的两个等腰三角形)，取BC的中点，很快作出二面角的平面角，也就是利用定义作出二面角的平面角．(2)求二面角大小的基本程序是：先作出二面角的平面角，再以此角作出(或找到)相关三角形，解此三角形即可求出二面角的大小．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练1．正方体ABCDA1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1BDA的正切值等于(C)A.32B.22C.2D.3解析：连接AC交BD于点O，连接A1O，O为BD中点，∵A1D＝A1B，∴在△A1BD中，A1O⊥BD.又在正方形ABCD中，AC⊥BD.∴∠A1OA为二面角A1BDA的平面角．设AA1＝1，则AO＝22，∴tan∠A1OA＝122＝2.题型二平面与平面垂直的判定及综合应用学习目标预习导学典例精析栏目链接例2如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO与A′C′所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)∵A′C′∥AC，∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.∵AB⊥平面BC′，∴AB⊥OC，又∵OC⊥OB，OB∩AB＝B，∴OC⊥平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，OC＝22，AC＝2，∴∠OAC＝30°.即AO与A′C′所成角的度数为30°.(2)如图，作OE⊥BC，连接AE，平面BC′⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD，∠OAE为OA与平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝12，AE＝12＋（12）2＝52，∴tan∠OAE＝OEAE＝55.学习目标预习导学典例精析栏目链接(3)OCOA∵⊥，OC⊥OB，∴OC⊥平面AOB.又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成的角为90°.点评：本题包含了线线角、线面角和面面角三类问题，求角度问题主要是求两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角三种．求角度问题解题的一般步骤是：①找出这个角；②证明该角符合题意；③作出这个角所在的三角形，解三角形，求出角．求角度问题不论哪种情况都归结到两条直线所成角的问题，即在线线成角中找到答案．学习目标预习导学典例精析栏目链接►跟踪训练2．如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.求证：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PCD.学习目标预习导学典例精析栏目链接证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，由N为PC的中点知EN0.5DC，又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB.又M是AB的中点，∴ENAM，∴AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.而AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.学习目标预习导学典例精析栏目链接(2)PA∵＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，而CDAD⊥，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD.
