探究：四心的向量表示VIP免费

设O为△ABC所在平面上一点，角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，则△222(1);为的外心OABCOAOBOC�△(2)0;为的重心OABCOAOBOC�△(3);为的垂心OABCOAOBOBOCOAOC�△(4)0.为的内心=OABCaOAbOBcOC�☞三角形四心的向量形式忆一忆知识要点1.在△ABC中:若则是的外心222(1),;OAOBOCOABC�△若则是的重心(2)0,;OAOBOCOABC�△若则是的垂心(3),;OAOBOBOCOAOCOABC�△一定过的重心(4).ABACABC�△一定过的内心(5)()(R).||||ACABABCABAC���△若=,则是的内心(6)0.aOAbOBcOCOABC�△☞向量与常见几何图形的联系忆一忆知识要点2.在△ABC中:设若是正三角形(1),,,,;BCaCAbABcabbcacABC�△若|,则是正三角形.(3)0,|||||OAOBOCOAOBOCABC�△若则是正三角形.(2),,,,OAOBOBOCOCOAABC�△3.在平行四边形ABCD中:若则(1)||||,()()0;ABADABADABAD�若则(2),||||.ABADABADABAD�忆一忆知识要点【1】如图,PQ过△OAB的重心G,且OP=mOA,OQ=nOB.求证：113.mnOABGPQ证明：如图建立坐标系，(,0),(,),AaBbc设(,).33abcG则由OP=mOA,OQ=nOB可知：求得(,0),(,).PmaQnbnc//,PGGQ�又(,),33abcPGma�(,),33abcGQnbnc�()()()0,3333abccabmancnb化简得：xy()0,3mnacmnac113.mn【2】O是平面上的一定点，,,ABC是平面上不共线的三个动点，动点P满足：()OPOAABAC�,(0,)，则点P的轨迹一定通过ABC△的()A．垂心B．内心C．重心D．外心C【3】O是平面上的一定点，,,ABC是平面上不共线的三个动点，动点P满足：()||cos||cosABACOPOAABBACC���，(0,)，则点P的轨迹一定通过ABC△的()A．垂心B．内心C．重心D．外心A☞三角形四心的向量形式【4】O是平面上的一定点，,,ABC是平面上不共线的三个动点，动点P满足：()2||cos||cosOBOCABACOPABBACC���(0,)，则点P的轨迹一定通过ABC△的()A．垂心B．内心C．重心D．外心D【5】O是平面上的一定点，,,ABC是平面上不共线的三个动点，动点P满足：()||sin||sinABACOPOAABBACC���，(0,)，则点P的轨迹一定通过ABC△的()A．垂心B．内心C．重心D．外心C☞三角形四心的向量形式第25讲│备用例题例已知G是△ABC的重心，直线EF过点G且与边AB、AC分别交于点E、F，AE→＝αAB→，AF→＝βAC→，则1α＋1β的值为________．第25讲│备用例题[解析]连接AG并延长交BC于D，∵G是△ABC的重心，∴AG→＝23AD→＝13(AB→＋AC→)，设EG→＝λGF→，∴AG→－AE→＝λ(AF→－AG→)，∴AG→＝11＋λAE→＋λ1＋λAF→，∴13AB→＋13AC→＝α1＋λAB→＋λβ1＋λAC→，∵AB→与AC→不共线，∴α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.