高一数学一次函数和二次函数的性质与图象【本讲主要内容】一次函数和二次函数的性质与图象【知识掌握】【知识点精析】1.一次函数定义：形如的函数叫一次函数。一次函数图象：斜率为a，在y轴上截距为b的直线。一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。2.二次函数（1）定义：形如的函数叫二次函数。（2）图象：抛物线，对称轴：，顶点，开口方向a>0向上；a<0向下。（3）二次函数的基本性质<1>二次函数的三种表示法：<2>当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令若，则若，则若，则；若，则特别提醒：（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即项的系数是否为零，必要时加以讨论。（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。【解题方法指导】例1.（1）设x、y是关于m的方程的两个实根，则的最小值是（）A.B.18C.8D.剖析：由，得或。用心爱心专心于是有。由此可知，当a=3时，取得最小值8。答案：C（2）（2004年江苏，13）二次函数的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式的解集是____________。解析：由表知，又x=0，y=-6，代入知。答案：例2.已知二次函数的图象与直线y=25有公共点，且不等式的解是，求a、b、c的取值范围。解：依题意有解，故。又不等式的解是。且有，代入得。故得a、b、c的取值范围为。评述：二次方程，二次不等式（或<0）与二次函数的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题。例3.求函数在［0，2］上的值域。思路分析：由可知对称轴为x=a是一个变量，应分a<0，0≤a≤1，1
2四种情况分类讨论。解：结合二次函数的图象，观察对称轴x=a与区间［0，2］的位置关系，得①当a<0时，，用心爱心专心②当时，③当时，④当a>2时，。误区警示：讨论要全面，不重不漏，特别是，，不能把两者合为一个区间研究。方法点拨：对于二次函数在区间［p，q］上的最大值和最小值：若，则当是最小（大）值，且与中最大（小）者为最大（小）值；若，则与中的最大者为最大值，最小者为最小值。方法技巧：1.解决与二次函数有关的问题，关键是通过配方得出顶点，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值等。2.二次函数在闭区间［m，n］上最值的求法：（1）若，则为函数的一个最值，另一个最值为或；（2）若，则在［m，n］上为单调函数，和为函数的两个最值。3.一元二次方程的区间根问题：可从判别式、区间端点函数的正、负及对称轴与区间的关系三个方面考虑。4.注意根据题设条件恰当选择二次函数的三种表达形式，以简化解题过程。5.二次函数，当时，图象与x轴有两个交点，则。【考点突破】【考点指要】本节内容属高考重点考查内容之一，比重5分～20分，多以选择题和解答题出现。常用用心爱心专心到数形结合、等价转化分类讨论等数学思想。考点：二次函数的性质掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”、“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。【典型例题分析】例1.（1）（2004·北京）函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（）A.B.C.D.答案：D解析：，对称轴x=a，函数在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上单调，即a≤1或a≥2。（2）（2003·全国）设a>0，，曲线在点P（）处切线的倾斜角的取值范围为，则p到曲线对称轴距离的取值范围为（）A.B.C.D.答案：B解析：的导数为，由已知在点P（）处切线的倾斜角的取值范围为，因此有，而P到曲线的对称轴的距离为。（3）（2003·北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________。答案：解析：设正方形周长为，面积和为S，则令由二次函数图象：当时，g(x)取得最小值，此时S最小。∴正方形周长为。用心爱心专心例2.（2003·北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月...
