备战高考数学选择题专题03 含绝对值的不等式及其应用文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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专题03含绝对值的不等式及其应用知识通关1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：不等式a>0a=0a<0|x|a{x|x>a或x0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：|ax+b|≤c⇔c−≤ax+b≤c;|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤c.−(3)|xa|+|xb|−−≥c和|xa|+|xb|−−≤c型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)定理2：如果a,b,c是实数，那么|ac|−≤|ab|+|bc|−−，当且仅当(ab−)(bc−)≥0时，等号成立.(3)推论1：||a||b||−≤|a+b|.(4)推论2：||a||b||−≤|ab|.−基础通关理解绝对值的几何意义，并会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：方法解读适合题型1公式法利用公式和或或直接求解不等式2平方法利用不等式两边平方的技巧,去掉绝对值,需保证不等式两边同正或同负3零点分段法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解4几何法利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解5图象法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解或通过移项构造一个函数如可构造或与题组一绝对值不等式的解法用零点分段法画出分段函数的图象，结合图象的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．【例1】已知函数.（1）画出的图象；（2）求不等式的解集．【解析】（1）的图象如图所示.题组二绝对值不等式性质的应用（1）利用绝对值不等式性质定理时要注意等号成立的条件：当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|；当(a－b)(b－c)≥0时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.（2）对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题时利用绝对值三角不等式更方便．（3）对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值符号还是利用几何意义，都要不重不漏．【例2】已知函数，．（1）当时，解不等式；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，，两边同时平方得，即，解得或，故不等式的解集为．（2）由恒成立，即恒成立，，∴，∴，解得，即实数的取值范围为.能力通关1．含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律：（1）根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决.（2）巧用“||a||b||−≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.①求|a||b|−的范围:若a±b为常数M,可利用||a||b||−≤|a±b|⇔|M|−≤|a||b|−≤|M|确定范围.②求|a|+|b|的最小值:若a±b为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值.（3）f(x)a恒成立⇔f(x)min>a.即不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．2．含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分离参数法运用“”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.不等式恒成立问题【例1】设函数.（1）解不等式；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为,当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得.所以不等式的解集为.（2）依题意只需，而，所以，所以或,故实数的取值范围是.【例2】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）若，则原不等式可化为，则，无解；若，则原不等式可化为，则，无解；若，则原不等式可化为，则.综上所述，不等式的解集为.（2...

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