备战高考数学 选择题 专题01 坐标系 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题01坐标系知识通关1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．极坐标系的概念（1）极坐标系：在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．（2）极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．3．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或4．圆的极坐标方程圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)如图，圆心在极点，半径为r：ρ＝r；(2)如图，圆心为M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ；(3)如图，圆心为，半径为r：ρ＝2rsinθ.5．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)如图，直线过极点，且极轴到此直线的角为α：θ＝α和θ＝π+α(ρ∈R)；(2)如图，直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcosθ＝a；(3)如图，直线过且平行于极轴：ρsinθ＝b.基础通关1．理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．题组一平面直角坐标系中的伸缩变换解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：（1）求点经过φ变换所得点A′的坐标；（2）求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．【解析】（1）设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：得∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1.∴点A′的坐标为(1，－1).（2）设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．由伸缩变换φ：得代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′，∴y′＝x′，故y=x即为所求直线l′的方程.题组二极坐标和直角坐标的互化一是坐标点的互化，极坐标的点化为直角坐标的点较简单，代入公式即可，直角坐标化极坐标利用公式即可，要注意ρ、θ的取值范围；二是方程的互化，直角坐标的方程化极坐标的方程代入公式可化为极坐标，极坐标方程化直角坐标方程，为公式逆用，构造公式右边，常在等式两边同乘ρ，角化为单角θ的正、余弦.注意：进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧．【例2】在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：.（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．【例3】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin＝1，圆C的圆心的极坐标是C，圆的半径为1.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．【解析】（1）设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C上的一个动点，则∠AOD＝－θ或∠AOD＝θ－，∴OA＝ODcos或OA＝ODcos，∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.（2）由ρsin＝1，得ρ(sinθ＋cosθ)＝1，∴直线l的直角坐标方程为x＋y－＝0，又圆心C的直角坐标为，满足直线l的方程，∴直线l过圆C的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.能力通关1．平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极坐标的表示形式不唯一．极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ＜2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．2．求解与极坐标有关的问题，主要...