备战高考数学 考点一遍过 考点16 三角恒等变换 理（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

考点16三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）：（2）：（3）：（4）：（5）：（6）：2．二倍角公式（1）：（2）：（3）：3．公式的常用变形（1）；（2）降幂公式：；；（3）升幂公式：；；；（4）辅助角公式：，其中，二、简单的三角恒等变换1．半角公式（1）（2）（3）【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）（1）积化和差公式：；；；.（2）和差化积公式：；；；.考向一三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；（2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等．2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1化简：.【解析】原式.【方法技巧】（1）三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．（2）三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．（3）在化简时要注意角的取值范围.1．化简A．B．C．D．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解.2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路：（1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：（1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好.4．常见的角的变换（1）已知角表示未知角例如：，，，，，.（2）互余与互补关系例如：，.（3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°30°−，75°=45°＋30°.典例2求下列各式的值：（1）cos+cos-2sincos;（2）sin138°-cos12°+sin54°.【解析】（1）cos+cos-2sincos=coscos=2coscoscos=coscos=0.（2）sin138°-cos12°+sin54°=sin42°-cos12°+sin54°=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=====.【名师点睛】“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2．A．1B．2C．3D．4典例3已知tan(αβ−)=，tanβ=，且α，β∈(0,π)，则2αβ−=A．B．C．D．或【答案】C【解析】因为tan2(αβ−)=，所以tan(2αβ−)=tan[2(αβ−)+β]==1.又tanα=tan[(αβ−)+β]=，又α∈(0,π)，所以0<α<.又<β<π，所以−π<2αβ−<0，所以2αβ−=.故选C．【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.3．已知，，，则A．B．C．D．典例4在平面直角坐标系中，以轴为始边作角，角的终边经过点.（1）求的值；（2）求的值.【解析】（1）由于角的终边经过点，所以，..（2）.则，故.【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式...