星期五(综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分14分)在公比为2的等比数列{an}中，a2与a5的等差中项是9.(1)求a1的值；(2)若函数y＝a1sin(其中0<φ<π)的一部分图象如图所示，M(－1，a1)，N(3，－a1)为图象上的两点，设∠MON＝θ，其中O为坐标原点，0<θ<π，求cos(θ－φ)的值.解(1)由题可知a2＋a5＝18，又a5＝8a2，故a2＝2，∴a1＝.(2)∵点M(－1，a1)在函数y＝a1sin的图象上，∴sin＝1，又∵0<φ<π，∴φ＝π.连接MN，在△MON中，由余弦定理得cosθ＝＝＝－.又∵0<θ<π，∴θ＝π，∴cos(θ－φ)＝cos＝coscos＋sinsin＝.2.(本小题满分15分)A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10，11，12，13，14，15，16B组：12，13，15，16，17，14，a假设所有病人的康复时间互相独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙.(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解设事件Ai为“甲是A组的第i个人”，事件Bi为“乙是B组的第i个人”，i，j＝1，2，…，7.由题意可知P(Ai)＝P(Bi)＝，i，j＝1，2，…，7.(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”.由题意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝.(3)a＝11或a＝18.3.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AB，AD⊥DC，∠DAC＝60°，PA＝AC＝2，AB＝1.(1)求二面角A－PB－C的余弦值.(2)在线段CP上是否存在一点E，使得DE⊥PB，若存在，求线段CE的长度，不存在，说明理由.解(1)如图，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴的正半轴方向，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，D.易知AC＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，∵PC＝(0，2，－2)，PB＝(1，0，－2)，设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则∴取z＝1，得n＝(2，1，1).∴cos〈n，AC〉＝＝，则二面角A－PB－C的余弦值为.(2)假设在CP上存在E点，使DE⊥PB，则过E作EF⊥AC于F，由已知得EF∥PA，设EF＝h，则E(0，2－h，h).∴DE＝，PB＝(1，0，－2).∵DE⊥PB，∴DE·PB＝－2h＝0，h＝，∴CE＝h＝.4.(本小题满分15分)椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点坐标为(，0)，斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为(2，－1).(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上一点，点M，N在椭圆C1上，且OP＝OM＋2ON，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，H(xH，yH)，则∴＝－·＝－·，又l的斜率为1，H的坐标为(2，－1)，∴1＝－·，即a2＝2b2，又a2－b2＝5，∴b2＝5，a2＝10，∴C2的方程为：＋＝1.(2)设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则∵OP＝OM＋2ON，∴又x＋2y＝10，∴(x1＋2x2)2＋2(y1＋2y2)2＝10，即x＋2y＋4(x＋2y)＋4x1x2＋8y1y2＝10，又x＋2y＝2，x＋2y＝2，∴10＋4x1x2＋8y1y2＝10，即x1x2＋2y1y2＝0，∴kOMkON＝＝－.即直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为－.5.(本小题满分15分)已知函数f(x)＝.(1)判断f(x)在(0，＋∞)的单调性；(2)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2.解(1)函数f(x)的定义域是(－1，0)∪(0，＋∞)，对f(x)求导得f′(x)＝，令g(x)＝－ln(x＋1)，又g′(x)＝－＝－＜0(x＞0).故g(x)是(0，＋∞)上的减函数，所以g(x)＜g(0)＝－ln1＝0.所以f′(x)＜0，函数f(x)是(0，＋∞)上的减函数.(2)将不等式(ex－1)ln(x＋1)＞x2等价为＞，因为＝＝，故原不等式等价于＞，由(1)知，f(x)＝是(0，＋∞)上的减函数，故要证原不等式成立，只需证明：当x＞0时，x＜ex－1，令h(x)＝ex－x－1，则h′(x)＝ex－1＞0，h(x)是(0，＋∞)上的增函数，所以h(x)＞h(0)＝0，即x＜ex－1，故f(x)＞f(ex－1).即＞＝，故(ex－1)ln(x＋1)＞x2.
