星期二(概率与立体几何)2017年____月____日1.概率(命题意图：考查相互独立事件概率的求解及数学期望的求法)(本小题满分15分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.解记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0，1，2，B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2·B·C)＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2·B·C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(X＝0)＝P(B·A0·C)＝P(B)P(A0)P(C)＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(B·A0·C＋B·A0·C＋B·A1·C)＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.2.立体几何(命题意图：考查线线垂直及面面角的求解)(本小题满分15分)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点.(1)求证：BD⊥EG；(2)求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值.(1)证明∵EF⊥平面AEB，AE⊂平面AEB，BE⊂平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，又AE⊥BE，1∴BE，EF，AE两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴.建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得，A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，F(0，3，0)，D(0，2，2)，G(2，2，0)，∴EG＝(2，2，0)，BD＝(－2，2，2)，∴BD·EG＝－2×2＋2×2＝0，∴BD⊥EG.(2)解由已知得EB＝(2，0，0)是平面DEF的法向量，设平面DEG的法向量为n＝(x，y，z)，∵ED＝(0，2，2)，EG＝(2，2，0)，∴即令x＝1，得n＝(1，－1，1)，设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，则|cos〈n，EB〉|＝＝＝，则cosθ＝.∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为.2
