专题一函数与导数、不等式第2讲不等式问题练习一、选择题1.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则()A.b＜a＜cB.a＜b＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b解析a＝2＝，b＝3＝，c＝25＝，所以b＜a＜c.答案A2.(2016·杭州模拟)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则实数a的取值范围是()A.[0，1]B.[－1，0]C.[－1，1]D.[－1，0]解析f(－a)＋f(a)≤2f(1)⇔或即或解得0≤a≤1，或－1≤a＜0.故－1≤a≤1.答案C3.(2016·浙江卷)已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则()A.(a－1)(b－1)＜0B.(a－1)(a－b)＞0C.(b－1)(b－a)＜0D.(b－1)(b－a)＞0解析由a，b＞0且a≠1，b≠1，及logab＞1＝logaa可得：当a＞1时，b＞a＞1，当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1，代入验证只有D满足题意.答案D4.已知当x＜0时，2x2－mx＋1＞0恒成立，则m的取值范围为()A.[2，＋∞)B.(－∞，2]C.(－2，＋∞)D.(－∞，－2)解析由2x2－mx＋1＞0，得mx＜2x2＋1，因为x＜0，所以m＞＝2x＋.而2x＋＝－≤－2＝－2.当且仅当－2x＝－，即x＝－时取等号，所以m＞－2.答案C5.(2016·珠海模拟)若x，y满足不等式组则的最小值是()A.B.C.D.1解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，表示原点(0，0)到此区域内的点P(x，y)的距离.显然该距离的最小值为原点到直线x＋2y－2＝0的距离.故最小值为＝.答案B二、填空题6.已知函数f(x)＝那么不等式f(x)≥1的解集为________.解析当x＞0时，由log3x≥1可得x≥3，当x≤0时，由≥1可得x≤0，∴不等式f(x)≥1的解集为(－∞，0]∪[3，＋∞).答案(－∞，0]∪[3，＋∞)7.设目标函数z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为________.解析作出不等式组所表示的可行域如图阴影所示，平移直线x＋y＝0，显然当直线过点A(k，k)时，目标函数z＝x＋y取得最大值，且最大值为k＋k＝12，则k＝6，直线过点B时目标函数z＝x＋y取得最小值，点B为直线x＋2y＝0与y＝6的交点，即B(－12，6)，所以zmin＝－12＋6＝－6.答案－68.(2016·大同模拟)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，若x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________.解析记t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m＜tmin.因为＋＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋.而x＞0，y＞0，所以＋≥2＝4(当且仅当＝，即x＝2y时取等号).所以t＝4＋＋≥4＋4＝8，即tmin＝8.故m2＋2m＜8，即(m－2)(m＋4)＜0.解得－4＜m＜2.答案(－4，2)三、解答题9.已知函数f(x)＝.(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3，或x＞－2}，求k的值；(2)对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0.由已知{x|x＜－3，或x＞－2}是其解集，得kx2－2x＋6k＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝，即k＝－.(2)因为x＞0，f(x)＝＝≤＝，当且仅当x＝时取等号.由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故t≥，即t的取值范围是.10.(1)解关于x的不等式x2－2mx＋m＋1＞0；(2)解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2＜0.解(1)原不等式对应方程的判别式Δ＝(－2m)2－4(m＋1)＝4(m2－m－1).当m2－m－1＞0，即m＞或m＜时，由于方程x2－2mx＋m＋1＝0的两根是m±，所以原不等式的解集是{x|x＜m－，或x＞m＋}；当Δ＝0，即m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；当Δ＜0，即＜m＜时，不等式的解集为R.综上，当m＞或m＜时，不等式的解集为{x|x＜m－，或x＞m＋}；当m＝时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠m}；当＜m＜时，不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(ax－1)(x－2)＜0.①当a＞0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·＜0.因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0＜a＜时，2＜，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是∅；当a＞时，＜2，则原不等式的解集是.②当a＝0时，原不等式为－(x－2)＜0，解得x＞2，即原不等式的解集是{x|x＞2}.③当a＜0时，原不等式可以化为a(x－2)＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)＞0，由于＜2，故原不等式的解集是.综上，当a＝0时不等式解集为(2，＋∞)；当0＜a＜时，不等式解集为；当a＝时，不等式解集为∅；当a＞时，不等式解集为，当a＜0时，不等式解集为∪(2，＋∞).11.已知函数f(x)...
