第5讲古典概型基础巩固1.在第1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)上,有一位乘客等候第4路或第8路公共汽车.假定当时各路汽车首先到站的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】1,3,4,5,8这5路汽车中的任何一路到站的可能性是相同的,故所求概率为P=.2.先将一个棱长为3的正方体木块的六个面分别涂上六种颜色,再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体,现从切好的小正方体中任取一块,所得正方体的六个面均没有涂色的概率是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意可知正方体被切割为27块,六个面均没有涂色的只有最中间的那一块,则其概率为.3.一袋中装有大小相同,编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】基本事件为(1,1),(1,2),…,(1,8),(2,1),(2,2),…,(8,8),共64种.两球编号之和不小于15的情况有三种,分别为(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率为.4.若以连续掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的横、纵坐标,则点P在直线x+y=5下方的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】点P在直线x+y=5下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可能,故其概率为=.5.(2012·山东枣庄段考)连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,-1)的夹角为α,则α∈的概率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由α∈,得cosα≥0,从而a·b=m-n≥0.当m=1时,n=1;当m=2时,n=1,2;当m=3时,n=1,2,3;…;当m=6时,n=1,2,3,4,5,6.故所求概率为=.6.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.B.C.D.【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个等可能的基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和一组对角线),包括10个基本事件,所以概率等于.7.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是.【答案】1【解析】 A∩B=B,∴B可能为⌀,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3}.当B=⌀时,a2-4b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3.当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1.当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b.当B={1,2}时,满足条件的a,b为a=3,b=2.当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b.故A∩B=B的概率为=.8.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是.【答案】【解析】采用枚举法:从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,基本事件为:{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},共6个,符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2},{2,4},共2个,所以所求的概率为.9.(2012·江苏卷,6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,-3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.【答案】【解析】由题意可知,这10个数分别为1,-3,9,-27,81,-35,36,-37,38,-39,在这10个数中,比8小的有5个负数和1个正数,故由古典概型的概率公式得所求概率P==.10.盒中有3只灯泡,其中2只是正品,1只是次品.(1)从中取出1只,然后放回,再取1只,求①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数;②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件总数;(2)从中一次任取出2只,求2只都是正品的概率.【解】(1)将灯泡中2只正品记为a1,a2,1只次品记为b1,则第一次取1只,第二次取1只,基本事件总数为9,①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1,a1),(a1,a2),(a2,a1),(a2,a2),共4个基本事件;②两次取出的一个为正品,一个为次品所包含的基本事件为(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),共4个基本事件.(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3,即a1a2,a1b1,a2b1,“2只都是正品”的基本事件数是1,所以其概率为.11.一个盒子里装有完全相同的10个小球,分别标上1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这10个数字,今随机地先后抽取2个小球,如果:(1)小球是不放回的;(2)小球是有放回的.求2个小球上的数字为相邻整数的概率.【解】随机抽取2个小球,记事件A为“2个小球上的数字为相邻整数”,可能结果为(1,2),(2,3),(3...
