必考问题3导数及其应用【真题体验】1．(2012·广东，12)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析利用导数的几何意义求切线方程 y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案2x－y＋1＝02．(2012·南京、盐城模拟，9)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex(x∈R)的单调减区间为________．解析f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝(x2＋3x＋2)ex＜0，解得－2＜x＜－1，故函数f(x)的减区间为(－2，－1)．答案(－2，－1)(或闭区间)3．(2012·大纲全国理，10改编)已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c的值为________．解析利用导数求解． y′＝3x2－3，∴y′＝0时，x＝±1.则x，y′，y的变化情况如下表x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或2.答案－2或24．(2011·广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．解析由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，故当x＝2时取得极小值．答案25．(2011·福建文，10改编)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．解析 f′(x)＝12x2－2ax－2b，又x＝1是极值点．∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6.∴ab≤＝9.当且仅当a＝b时“＝”成立．∴ab的最大值为9.答案9【高考定位】高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是B级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式及复合函数的导数运算，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(3)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研1究函数的单调性与极值要达到相等的高度；(4)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级．【应对策略】高考对本讲在考查形式上不会有大的变化，即填空题、解答题都会考查，填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题，解答题有一定难度，一般与函数及不等式结合，属于高考的中高档题．导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力．估计以后对导数的考查力度不会减弱．作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.必备知识1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．利用导数判断函数的单调性设函数f(x)在区间(a，b)内可导，且f′(x)在(a，b)任意子区间内都恒不等于0，则f′(x)≥0⇔f(x)为增函数，f′(x)≤0⇔f(x)为减函数．3．利用导数求函数的极值与最值(1)求函数极值的步骤是：①求导数f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检验f′(x)在方程根左、右侧的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取极小值．(2)求函数在[a，b]上的最值步骤是：①求函数f(x)在(a，b)内的极值；②求f(x)在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．特别地，极值唯一时，极值就是最值．必备方法1．函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f′(x)＞0的必要不充分条件．2．可导函数极值的理解(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x)＝0”是“f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件；(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零...
