课时提升作业(四十)空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题5分,共25分)1.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定3个平面.其中正确的序号是()A.①B.①④C.②③D.③④【解析】选A.因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱,所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可以确定的平面个数是1或3,所以④不正确.2.(2015·合肥模拟)已知空间中有三条线段AB,BC和CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是()A.AB∥CDB.AB与CD异面C.AB与CD相交D.AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交【解题提示】分三条线段共面和不共面两种情况讨论.【解析】选D.若三条线段共面,如果AB,BC,CD构成等腰三角形,则直线AB与CD相交,否则直线AB与CD平行;若不共面,则直线AB与CD是异面直线.3.如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M【解析】选D.因为AB⊂α,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β,由公理3知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.4.(2015·广州模拟)已知A,B是两个不同的点,m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则1①mα,A∈mA∈α;②m∩n=A,A∈α,B∈mB∈α;③mα,nβ,m∥nα∥β;④mα,⊂⇒⇒⊂⊂⇒⊂m⊥βα⊥β.⇒其中真命题为()A.①③B.②③C.①④D.②④【解析】选C.根据平面的性质,可知①正确,②中不能确定B∈α,③中α与β可能平行,也可能相交,④中根据面面垂直判定定理可知正确,故①④为真命题,故选C.5.如图是一正方体的表面展开图,MN和PB是两条面对角线,则在正方体中,直线MN与直线PB的位置关系为()A.相交B.平行C.异面D.重合【解析】选C.将表面展开图折起还原为正方体,如图,故MN与PB异面.【误区警示】本题由展开图还原为几何体时易出错,原因是空间想象能力不强,可固定其中一个面,翻折其他面得到.【加固训练】将正方体纸盒展开如图所示,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是()2A.平行B.垂直C.相交成60°角D.异面且成60°角【解析】选D.折起后如图,显然AB与CD异面,因为AM∥CD,△AMB为正三角形,所以∠MAB=60°.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·天津模拟)设a,b,c是空间的三条直线,下面给出四个命题:①设a⊥b,b⊥c,则a∥c;②若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.【解析】因为a⊥b,b⊥c,所以a与c可能相交,平行,异面,故①错;因为a,b异面,b,c异面,则a,c可能异面,相交,平行,故②错;由a,b相交,b,c相交,则a,c可以异面,相交,平行,故③错;同理④错,故真命题的个数为0.答案:07.如图,已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,C是圆柱下底面弧AB的中点,C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为.【解题提示】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则可得直线AC1与AD所3成角等于异面直线AC1与BC所成角,利用圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,可得C1D=Error:ReferencesourcenotfoundAD,从而可得结论.【解析】取圆柱下底面弧AB的另一中点D,连接C1D,AD,则因为C是圆柱下底面弧AB的中点,所以AD∥BC,所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角,因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点,所以C1D⊥圆柱下底面,所以C1D⊥AD,因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形,所以C1D=Error:ReferencesourcenotfoundAD,所以直线AC1与AD所成角的正切值为Error:Referencesourcenotfound,所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为Error:Referencesourcenotfound.答案:Error:Referencesourcenotfound8.(2015·昆明模拟)若两条异面直线所成的角为60°,则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中,“黄金异面直线对”共有对.【解析】正方体如图,若要出现所成角为60°的异面直线,则直线需为面对角线,以AC为例,与之构成黄金异面直线对的直...
