课时提升作业(十四)导数在研究函数中的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·厦门模拟)函数f(x)=xlnx,则()A.在(0,+∞)上递增B.在(0,+∞)上递减C.在(0,)上递增D.在(0,)上递减【解析】选D.因为函数f(x)=xlnx,所以f′(x)=lnx+1,f′(x)>0,解得x>,则函数的单调递增区间为(,+∞),又f′(x)<0,解得0
2B.-36【解题提示】求导,令导数等于零,转化为方程在R上的实数根的情况求解.【解析】选D.由已知得:f′(x)=3x2+2ax+a+6=0在R上有两个不相等的实根,所以Δ=(2a)2-12(a+6)>0,解得:a<-3或a>6,故选D.【加固训练】设函数y=f(x)在(a,b)上的导函数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.已知当m≤2时,f(x)=x3-mx2+x在(-1,2)上是“凸函数”,则f(x)在(-1,2)上()A.既有极大值,也有极小值B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值D.没有极大值,也没有极小值【解析】选C.由题设可知:f″(x)<0在(-1,2)上恒成立,由于f′(x)=x2-mx+1,从而f″(x)=x-m,所以有x-m<0在(-1,2)上恒成立,故知m≥2,又因为m≤2,所以m=2;从而f(x)=x3-x2+x,令f′(x)=x2-2x+1=0得x1=2-∈(-1,2),x2=2+∉(-1,2);且当x∈(-1,2-)1时f′(x)>0,当x∈(2-,2)时f′(x)<0,所以在(-1,2)上f(x)在x=2-处取得极大值,没有极小值.3.函数f(x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是()A.-2B.0C.2D.4【解析】选C.f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),因为-1≤x≤1,所以令f′(x)>0得-1≤x<0,令f′(x)<0得00,-22时,f′(x)>0,故f(-2)是极大值,f(2)是极小值.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数f(x)=(ax2+x)-xlnx在[1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.【解题提示】求导利用导数大于等于0转化为恒成立问题,再构造函数求解.【解析】由题意知:f′(x)=2ax+1-(lnx+1)≥0,即a≥在x∈[1,+∞)上恒成立;设g(x)=,令g′(x)==0,解得x=e,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)为减函数,当x∈[1,e)时,g′(x)>0,g(x)为增函数,故g(x)的最大值为g(e)=,即a≥.答案:a≥7.(2015·银川模拟)函数f(x)=x(x-m)2在x=1处取得极小值,则m=.【解析】f′(1)=0可得m=1或m=3.当m=3时,f′(x)=3(x-1)(x-3),13时,f′(x)>0,此时x=1处取得极大值,不合题意,所以m=1.答案:1【误区警示】本题易出现求出m值后不进行验证能否在x=1处取得极小值,导致解题错误.8.(2015·湖南十二校联考)已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表:x-10245f(x)12021f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值为.【解析】由y=f′(x)的图象可知,f′(x)与f(x)随x的变化情况如表:x(-1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f′(x)+0-0+0-f(x)↗极大值↘极小值↗极大值↘3所以f(2)为f(x)的极小值,f(2)=0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·东北三省四市联考)已知函数f(x)=lnx,g(x)=(x-a)2+(lnx-a)2.(1)求函数f(x)在A(1,0)处的切线方程.(2)若g′(x)在[1,+∞)...
