专项强化训练(三)数列的综合应用一、选择题1.设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,a1=b1=4,a4=b4=1,则下列结论正确的是()A.a2>b2B.a3b5D.a6>b6【解析】选A.设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由题可得d=-1,q=Error:Referencesourcenotfound,于是a2=3>b2=2Error:Referencesourcenotfound,故选A.【加固训练】若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则Error:Referencesourcenotfound的取值范围是.【解析】由等差数列与等比数列的性质得Error:Referencesourcenotfound所以Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound=2+Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound.当x,y同号时,Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound≥2;当x,y异号时,Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound≤-2.所以Error:Referencesourcenotfound的取值范围为(-∞,0]∪[4,+∞).答案:(-∞,0]∪[4,+∞)2.已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an,an+1是函数f(x)=x2-bnx+2n的两个零点,则b10等于()A.24B.32C.48D.64【解析】选D.依题意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1.两式相除得Error:Referencesourcenotfound=2,所以a1,a3,a5,…成等比数列,a2,a4,a6,…也成等比数列.而a1=1,a2=2,所以a10=2·24=32,a11=1·25=32.又因为an+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.3.设{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5S8,则下列结论错误的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S51D.S6与S7均为Sn的最大值【解析】选C.因为{an}是等差数列,所以Sn=Error:Referencesourcenotfoundn2+Error:Referencesourcenotfoundn.因为S5S8,所以Sn关于n的二次函数开口向下,对称轴为n=6.5,所以d<0,S6与S7均为Sn的最大值,S90时,若x=n,n∈N*,则f(n)=f(n-1)+1=…=f(0)+n=n;若x不是整数,则f(x)=f(x-1)+1=…=f(x-[x]-1)+[x]+1,其中[x]代表x的整数部分,由f(x)=x得f(x-[x]-1)=x-[x]-1,其中-10,y>0),已知数列{an}满足:an=Error:Referencesourcenotfound(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为()A.Error:ReferencesourcenotfoundB.2C.1D.4【解析】选A.an=Error:Referencesourcenotfound,Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,an+1>an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=Error:Referencesourcenotfound,故ak的值为Error:Referencesourcenotfound.5.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为Error:Referencesourcenotfound(n∈N*)元,使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少),一共使用了()A.600天B.800天C.1000天D.1200天【解析】选B.由第n天的维修保养费为Error:Referencesourcenotfound(n∈N*)元,可以2得出观测仪的整个耗资费用,由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值.设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound+Error:Referencesourcenotfound,当且仅当Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound时取得最小值,此时n=800,故选B.【方法技巧】建模解数列问题(1)分析题意,将文字语言转化为数学语言,找出相关量之间的关系.(2)构建数学模型,将实际问题抽象成数学问题,明确是等差数列问题、等比数列问题,是求和还是求项,还...
