江苏省第19届数学竞赛参考答案与评分标准一、择题题号123456答案DACDCC二、填空题7、18、79、，，，（填对一组解给2分，4组全对给7分）10、CHQ11、12、13、（对1个给3分，对2个给5分）14、三、解答题15、题中等式可化为①……………………………………2分当方程①有两个相等的实数根时，，由此得，此时方程①有一个根，验证可知的确满足题中的等式………………………………………………………………………………………………………4分当方程①有两个不相等的实数根时，，由此得若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，此时方程①的另一个根，它确也满足题中的等式；……………………………………………………………8分若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得，此时方程①的另一个根，验证可知确满足题中的等式；…………………………………………12分因此，，即为所求，且…13分16、（1）设装卸工作需小时完成，则第一人干了小时，最后一个人干了小时，两人共干活小时，平均每人干活小时，由题意知，第二人与倒数第二人，第三人与倒数第三人，…，平均每人干活的时间也是小时。………………………………………4分据题设，得，解得（小时）。……………………………………6分1（2）共有人参加装卸工作，由于每隔小时增加一人，因此最后一人比第一人少干小时，按题意，得，即………………………………10分解此不定方程得，，，，，即参加的人数或3或4或5或7或13。…………………………………………………13分17、判断（1）、（2）、（3）、（4）都不正确。………………………………………………………1分判断（1）的反例：如图（1），在△ABC、△AC中，AC＝AC，BC＝C，高AH＝AH，但两个三角形不全等。……………………………………………………………………………………………………4分BCHA图（1）BCHA图（2）EDCAFB图（3）判断（2）的反例：如图（2），在在△ABC、△AB中，AB＝AB，AC＝A，高AH＝AH，但两个三角形不全等。………………………………………………………………………………………………7分判断（3）的反例：设△ABC的三边长分别为AB＝16，AC＝24，BC＝36；△的三边长分别为，，。由于△ABC与△的对应边成比例，故△ABC∽△，从而它们有5个边角元素分别相等：，，，AC＝，BC＝，但它们不全等。……………………………………………………10分判断（4）的反例：如图（3），在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的高，作，延长BC、FA交于点，则高BF＝BE，AD＝AD，又AB＝AB，但△ABC与△AB不全等。…………………………………………………………………………………………………………13分综上所述，题中4个判断都不正确。18、9名裁判不可能给某5位或5位以上的运动员都评为1分，因为对于5位或5位以上的运动员中，至少有一名运动员被某裁判评的分不小于5，而按照题意，这5名运动员中的每一位被各裁判所评的分不大于4，矛盾。因此，9名裁判至多给某4位运动员都评为1分。……………3分下面分情形讨论2（1）如果所有裁判都给某一名运动员评分为1分，那么＝9；……………………………4分（2）如果9名裁判评出的9个1分集中在两位运动员名下，那么其中必有一名运动员至少被5名裁判都评为1分，于是由题设可知，其余裁判给该运动员的评分不大于4，从而；………………………………………………………………6分（3）如果裁判评出的9个1分集中在三位运动员名下，那么，这三名运动员各自所得的总分之和不大于，从而，故，；…………………………………………………………………………………8分（4）如果9个1分为4名运动员拥有，那么这4名运动员各人所得总分之和等于，从而，故。综上可知，。……………………………………………………………………11分这种情形是可以实现的，见下表：………………………………………………………13分1432567910811121432567910811121432567910811124315279681110124315279681110124315279681110123142596711108123145296711108123运动员评分裁判314259671110812合计24242430336666668787871084
