、[正五边形的画法]圆内接正五边形的画法如下:1、任作一圆O2、任作圆O中互相垂直的两直径AB、CD3、作OD的垂直平分线交OD于E4、以E为圆心，EA长为半径作弧，交CD于F5、在圆O上顺序作弦AG=GH=HM=MN=NA=AF则得正五边形AGHMN已知边长作正五边形的近似画法如下:①作线段AB等于定长l,并分别以A,B为圆心,已知长l为半径画弧与AB的中垂线交于K.②以K为圆心，取AB的2/3长度为半径向外侧取C点，使CK=2/3AB③以C为圆心,已知边长AB为半径画弧,分别与前两弧相交于M,N.④顺次连接A,B,N,C,M各点即近似作得所要求的正五边形.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的.正三边形很好做;正四边形稍难一点;正六边形也很好做;正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢?人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易;一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来?数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案一直悬而未决两千余年.17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi(i为右下角标)=22i(底数2指数2的i次幂)+1的数.费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解.现在他又猜测Fi都是素数，对于i=0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F0=3，F1=5，F2=17，F3=257，F4=65537验证一下，这五个数的确是素数.F5=225+1是否素数呢?仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了!F5是两素数之积：F5=641×6700417.当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年?何以需要欧拉这样的人来解决问题?更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道.至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i+1的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数.由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k(2的k次幂)或2k×p1×p2×…×ps，(1，2…s为右下角标)其中，p1，p2，…，ps是费马素数.正7边形可否尺规作图呢?否!因为7是素数，但不是费马素数.倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形.根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形.就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连.正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案.高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5=F1);对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数;对于正257边形、正65537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已...
