高中数学好题速递400题（251—300）VIP专享VIP免费

好题速递251题设为正整数，方程在区间内有两个不同的根，则的最小值是．解：于是问题转化为直线与打勾函数的图象的两个交点的横坐标均在区间内，于是注意到为整数，于是在区间上存在整数的充要条件为解得故的最小值为6，而的最小值为7，则的最小值为13好题速递252题已知，求的最小值是．解法一：令，则因此，整理得故用判别式，解得解法二：设，，条件转化为，即所求代数式转化为的最小值由此可有斜率角度求值域：，（视为单位圆上的点与连线斜率），则也可由三角函数角度求值域：评注：这里因为遇到的结构，故三角换元设，。解法三：数形结合当时，点为上的一点，则如图，就是典型的“饮马问题”，点关于直线的对称点到轴的距离为当时，点为上的一点，则而于是好题速递253题如图，直线与平面，垂足是，正四面体的棱长为4，点在平面上运动，点在直线上运动，则点到直线的距离的取值范围是．解：题意中是点是定点，正四面体运动，但始终保持不变不妨反过来换位思考，将正四面体固定下来，让点在以为直径的球面上运动，如图所示。接下来可以得到点到直线的距离的取值范围就是球心到直线的距离减去球的半径与球心到直线的距离加上球的半径之间，即好题速递254题★已知，对任意满足的实数，都有成立，则的最大值是．解法一：显然于是问题转化为求的最大值当时，容易得到，由图可知直线在上的值域为的子集，于是斜率必然在内，故从而当时，原式取到最大值为40解法二：绝对值不等式因为故，同解法一练习：若对任意满足的实数，都有成立，则的取值范围是．如图，易得点评：本题就是将一次函数转变为二次函数，异曲同工。好题速递255题已知圆为的外接圆，且，若，则的最大值为．解：如图，延长交边于点，设则由三点共线可知，从而显然当取最小值，即时，取得最大值，此时为等腰三角形，可得好题速递256题已知非零向量和互相垂直，则和的夹角余弦值的最小值是．解：令，则好题速递257题已知正数满足，则的取值范围是．解：设，则又因为即，解得当且仅当时，；当且仅当时，好题速递258题已知实数，若，则的最小值是．解法一：待定系数法待定系数法，令，解得故，当且仅当时取得解法二：令，即时，，当且仅当时取得解法三：三角换元设，原问题转化为，求的最小值令，，，，故问题又转化为已知，求的最小值于是因为，故评注：这里又遇到的结构，故可三角换元设，，10月1日每日征解有相同的处理方法。好题速递259题已知中，，，点是线段上一点，且，则的取值范围是．解：根据，，可知在以为直径，以中点为圆心的圆上。又，且，根据投影的几何意义为点在的中垂线上，又点在上，故点就是线段的中垂线与线段的交点又，故问题转化为当点在以为直径的圆上运动时，求的取值范围显然当与重合时，，与接近重合时，故好题速递260题在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为的点有个．解：如图，将正方体的各个顶点（除B点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类。显然与所成角的正切值为，故大于与所成角的为，大于与所成角的为，大于与所成角的正切值为，小于当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足；依此类推，当点在上运动时，都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有3个。点评：本题虽然是立体几何问题，但类似于函数的零点存在性定理（一上一下中间一点），角度的变化不会发生突变，故在变化的过程中一定存在一个临界点。这种思想在处理选择题时经常用到。好题速递261题在中，是边上一点，，，若的外心恰在线段上，则．解：设因为是等腰三角形，故，即故有再对上式两边同时与作数量积，有，得故由余弦定理得即点评：本题的一个难点在于从等腰三角形想到在方向的分量一样，即系数一致求出。其次还是向量与外心合作的老套路——点积转边长。好题速递262题已知平面和相交形成的四个二面角中的其中一个为，则在空间中过某定点与这两个平面所成的线面角均为的直线有条．解：设平面和平面过点的法线（垂直于平面的直线）分别为，则而直线与两个平面所成的线面角均为可转化为直线与法线所成的角均为由“鸡爪定理”可知...