4.4数系的扩充与复数的引入一、知识点1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义：复数z＝a＋bi―→复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)―→平面向量3．复数的运算：(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律：对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．二、考点分析考点一复数的有关概念1.(2014·湖北八校联考)设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a＋bi＝(i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．23．(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1D．3考点二复数的几何意义4．(2013·湖北八校联考)已知i是虚数单位，z＝1＋i，z为z的共轭复数，则复数在复平面上对应的点的坐标为________．考点三复数的代数运算5.(2013·长春调研)已知复数z＝1＋ai(a∈R，i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝()A．2B．－2C．±2D．－6．(2013·山东高考)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为()A．2＋iB．2－iC．5＋iD．5－i7．设复数z的共轭复数为，若z＝1－i(i为虚数单位)，则＋z2的值为()A．－3iB．－2iC．iD．－i8．(2013·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________.三、练习巩固1．(2013·安徽联考)已知i是虚数单位，则2013在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．(2014·石家庄模拟)复数z＝1－i，则＋z对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．(2013·广东高考)若i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋yi的模是()A．2B．3C．4D．54．(2013·河北教学质量监测)已知m∈R，复数－的实部和虚部相等，则m＝________.5．(2013·郑州质量预测)若复数z＝2－i，则z＋＝()A．2－iB．2＋iC．4＋2iD．6＋3i6．(2014·萍乡模拟)复数等于()A.B．－C.iD．－i7．(2013·陕西高考)设z是复数，则下列命题中的假命题是()A．若z2≥0，则z是实数B．若z2＜0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2＜08．(2013·重庆高考)已知复数z＝(i是虚数单位)，则|z|＝________.9．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．10．已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
