一元二次方程竞1一．解答题（共30小题）1．已知k是整数，且方程x2+kxk﹣+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值．2．k为何正数时，方程k2xk﹣2=2kx5k﹣的解是正数？3．已知方程x2kx7=0﹣﹣与x26x﹣﹣（k+1）=0有公共根．求k的值及两方程的所有公共根和所有相异根．4．已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程也有一个根为1．5．是否存在某个实数m，使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根？如果存在，求出这个实数m及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．6．已知实数a是一元二次方程x2x1=0﹣﹣的一个根，求代数式a8+7a4﹣的值．7．关于x的一元二次方程x25x=m﹣21﹣有实根a和β，且|α|+|β|≤6，确定m的取值范围．第1页8．解下列关于x的方程：（1）（m1﹣）x2+（2m1﹣）x+m3=0﹣；（2）x2﹣|x|1=0﹣；（3）|x2+4x5﹣|=62x﹣．9．设方程20022x22003•2001x1=0﹣﹣的较大根是r，方程2001x22002x﹣+1=0的较小根是s，求rs﹣的值．10．设方程|x2+ax|=4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．11．当m为整数时，关于x的方程（2m1﹣）x2﹣（2m+1）x+1=0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．12．已知a≠0，并且关于x的方程ax2bxa﹣﹣+3=0①至多有一个解．试问：关于x的方程（b3﹣）x2+（a2b﹣）x+3a+3=0②是否一定有解？并证明你的结论．13．已知：关于x的方程2x2﹣（3m+n）x+mn=0，且m＞n＞0．求证：（1）这个方程有两个不相等的实数根；（2）这个方程的两根中，有一个比n大，另一个比n小．14．如果实数a，b，c满足a=2b+，且ab+c2+，那么的值是多少？15．已知三个关于x的方程x2x﹣+m=0，（m1﹣）x2+2x+1=0和（m2﹣）x2+2x1=0﹣，第2页若其中至少两个方程有实根，求m的取值范围．16．已知a，b为实数，且满足16a2+2a+8ab+b21=O﹣，求3a+b的最小值．17．设a、b、c为非零实数，且ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0，试问：a、b、c满足什么条件时，三个二次方程中至少有一个方程有不等的实数根．18．m为给定的有理数，k为何值时，方程x2+4（1m﹣）x+3m22m﹣+4k=0的根总为有理根？19．设k是任意实数，讨论关于x的方程|x21﹣|=x+k的解的个数．20．已知m，n为整数，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由．21．设方程mx2﹣（m2﹣）x+m3=0﹣有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程的所有整数解．22．已知首项系数不相等的两个二次方程（a1﹣）x2﹣（a2+2）x+（a2+2a）=0及（b﹣1）x2﹣（b2+2）x+（b2+2b）=0（a、b是正整数）有一个公共根，求的值．第3页23．已知三个实数a、b、c满足a+b+c=0，abc=1，求证：a、b、c中至少有一个大于•24．若关于x的方程x2﹣（a3﹣）x+a2=0﹣有两个不相等的整数根，求a的值．25．已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0，abc=2，求|a|+|b|+|c|的最小值．26．对于任意实数x，不等式kx2kx1﹣﹣＜0恒成立，求k的取值范围．27．若关于x的方程x2+kx12=0﹣与3x28x3k=0﹣﹣有一个公共根，求实数k的所有可能值．28．已知α，β是关于x的二次方程x2+（2m1﹣）x+m2=0的二正根（1）求m的取值范围；（2）若α2+β2=49，求m的值．29．关于x的方程（m8﹣）x22﹣（m4﹣）x﹣（m+2）=0至少有一个负根，求m的取值范围．30．已知关于x的方程x2+2x+=O，其中k为实数．当k为何值时，方程没有实数根？参考答案与试题解析第4页一．解答题（共30小题）1．已知k是整数，且方程x2+kxk﹣+1=0有两个不相等的正整数根，求k的值．【解答】解：设方程x2+kxk﹣+1=0的两个不相等的正整数根为a，b（a＜b），根据根与系数的关系有：a+b=k﹣，ab=k﹣+1消去k有：ab=a+b+1即（a1﹣）（b1﹣）=2 a，b是正整数，∴只有a1=1﹣，b1=2﹣，a=2，b=32+3=k﹣故k的值为﹣5．2．k为何正数时，方程k2xk﹣2=2kx5k﹣的解是正数？【解答】解：按未知数x整理方程得（k22k﹣）x=k25k﹣．要使方程的解为正数，需要（k22k﹣）（k25k﹣）＞0．看不等式的左端（k22k﹣）（k25k﹣）=k2（k2﹣）（k5﹣）．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k...
