第五章：随机变量的收敛性VIP免费

第五章：随机变量的收敛性第五章：随机变量的收敛性随机样本：随机样本：IIDIID样本，样本，统计量：对随机样本的概括统计量：对随机样本的概括YY为随机变量，为随机变量，YY的分布称为的分布称为统计量的采样分布统计量的采样分布如：样本均值、样本方差、样本中值如：样本均值、样本方差、样本中值……收敛性：当收敛性：当样本数量样本数量nn趋向无穷大趋向无穷大时，统计量的变化时，统计量的变化大样本理论、极限定理、渐近理论大样本理论、极限定理、渐近理论对统计推断很重要对统计推断很重要12(,...,)nYTXXX=12,...,nXXX~iXF收敛性收敛性主要讨论两种收敛性主要讨论两种收敛性依概率收敛依概率收敛大数定律：样本均值依概率收敛于分布的期望大数定律：样本均值依概率收敛于分布的期望依分布收敛依分布收敛中心极限定理：样本均值依分布收敛于正态分布中心极限定理：样本均值依分布收敛于正态分布例例11：依概率收敛：依概率收敛概率的频率解释：概率的频率解释：随着观测次数随着观测次数nn的增加，频率将会逐渐稳的增加，频率将会逐渐稳定到概率定到概率设在一次观测中事件设在一次观测中事件AA发生的概率为发生的概率为如果观测了如果观测了nn次，事件次，事件AA发生了次，则当发生了次，则当nn充分大时，充分大时，AA在次在次观测中发生的频率逐渐稳定到概率观测中发生的频率逐渐稳定到概率pp。。那么那么不对不对，若，若则对于，总存在则对于，总存在,,当时，有当时，有成立成立但若取但若取,,由于由于即无论即无论NN多大多大,,在在NN以后以后,,总可能存在总可能存在nn,,使使所以不可能在通常意义下收敛于所以不可能在通常意义下收敛于pp。。pAPAnnAfAnn00NnNnfAplim?nnfAplimnnfApp010nnfApP0nfAnfA例例22：依分布收敛：依分布收敛考虑随机序列，其中考虑随机序列，其中直观：集中在直观：集中在00处，收敛到处，收敛到00但但20nnXXVP~0,1nXNnnX（Chebyshev不等式）210nnX12,...,nXXX两种收敛的定义两种收敛的定义5.15.1定义：令为随机变量序定义：令为随机变量序列，列，XX为另一随机变量，用为另一随机变量，用FFnn表示表示XXnn的的CDFCDF，，用用FF表示表示XX的的CDFCDF11、如果对每个，当时，、如果对每个，当时，则则XXnn依概率收敛依概率收敛于于XX，记为。，记为。22、如果对所有、如果对所有FF的连续点的连续点tt，有，有则则XXnn依分布收敛依分布收敛于于XX，记为。，记为。12,...,nXXX0e>n®¥()0nXXe->®PPnXX¾¾®nXX»()()limnnFtFt®¥=同教材上两种收敛的定义两种收敛的定义当极限分布为点分布时，表示为当极限分布为点分布时，表示为依概率收敛：依概率收敛：依分布收敛：依分布收敛：1,,PPnnXcandXXthenXcP1,,nnXcandXXthenXcP其他收敛其他收敛还有一种收敛：均方收敛（还有一种收敛：均方收敛（LL22收敛，收敛，convergetoconvergetoXXininquadraticmeanquadraticmean））对证明概率收敛很有用对证明概率收敛很有用当极限分布为点分布时，记为当极限分布为点分布时，记为对应还有：对应还有：LL11收敛（收敛（convergetoconvergetoXXininLL11））20,,qmnnifXXasthenXXEqmnXc10,,LnnifXXasthenXXE2lim0nnXXElim0nnXXE依概率收敛依概率收敛随机变量序列，当对任意，随机变量序列，当对任意，则称随机变量序列则称随机变量序列几乎处处依概率收敛几乎处处依概率收敛到到XX（（convergealmostsurelytoconvergealmostsurelytoXX），记为：），记为：几乎处处收敛：比依概率收敛更强几乎处处收敛：比依概率收敛更强其他收敛其他收敛0lim0nnXXP..asnXX12,...,nXXX:lim0nnXXP或12,...,,...nXXXlim0nnXXPlim:0nnXXP或各种收敛之间的关系各种收...