第三章时间序列分析VIP免费

第一节线性差分方程一、后移算子B定义为，从而1ttBXXmttmBXX前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：()ttXBa()ttBXa()()ttBXBa212()1nnBBBB212()1mmBBBB其中：二、线性差分方程1111ttntnttmtmXXXaaa()()ttBXBa212()(1)nnBBBB212()1mmBBBB()()tXCtIt差分方程的通解为：可将写成这里这里，C(t)是齐次方程通解解，I(t)是特解。三、齐次方程解的计算()0tBX12()(1)(1)(1)nBGBGBGB假定G1，G2，…，Gn是互不相同，则在时刻t的通解：1122ttttnnXAGAGAG其中Ai为常数（可由初始条件确定）。•无重根考虑齐次差分方程•重根设()0B10G2101210[]dttdXAAtAtAtG有d个相等的根，可验证通解为对一般情形，/120()(1)(1)(1)(1)dnBGBGBGBGB因此，齐次方程解是由衰减指数项Gt、多项式tj、衰减正弦项Dt-ksin(2πf0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。/1001()dntjtkjiijiCtGAtDG齐次方程解便是•定义：设零均值平稳序列{,0,1,2,...}tXt第二节格林函数(Green’sfunction)和平稳性(Stationarity)一、格林函数(Green’sfunction)能够表示为0tjtjjXGa则称上式为平稳序列tX的传递形式，式中的加权系数jG称为格林（Green）函数，其中01.GttXGBa•格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。（1）式可以记为其中0jjjGBGB式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项对现实响应的权，亦即系统对的“记忆”。0jjjGBGBjGtjatja一、AR（1）系统的格林函数111111212111().........ttttttttttttXXaXXaXaaaa由AR（1）模型即：10jttjjXa则AR(1)模型的格林函数1jjG例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对ta扰动的记忆情况。（演示试验）AR（n）模型，即()ttBXa其中：212()1nnBBBB的平稳性条件为：()0B的根在单位圆外1212()0nnnn（或的根在单位圆内）。•AR（n）系统的平稳性条件：（请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。）•格林函数与AR（n）系统的平稳性平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系统，将其写成格林函数的表示形式，0tjtjjXGa如果系统是平稳的，则预示随着j→∞，扰动的权数0jG上面结论也可以用来求AR(n)系统的系数平稳性条件。请同学们思考MA(m)系统的平稳性条件。•ARMA模型格林函数的通用解法()()tBXBARMA(n,m)模型且()ttXGBa则()()()BGBB*,00,jjjnjn令*,00,lllmlm()()()BGBB则化为**000jkljkljklBGBB比较等式两边B的同次幂的系数，可得**0,1,2,3,...ljljljGl由上式，格林函数可从1l开始依次递推算出。例：求AR(2,1)系统的格林函数。是零均值平稳序列，如果白噪声序列tXta1ttjtjjaXIX第三节逆函数和可逆性（Invertibility）能够表示为一、逆函数的定义设则称上式为平稳序列tX式中的加权系数1,2,...jIj称为逆函数。•ARMA（n,m）模型逆函数通用解法对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。01()1,1jtjjIBIXI令二、ARMA模型的逆函数的逆转形式tX1ttjtjjaXIX()ttaIBX则平稳序列可表示为由ARMA(n,m)模型()()ttBXBa()()()BBIB可得仍由先前定义的*j*l和，则上式可化为**000jlkjlkjlkBBIB比较上式两边B的同次幂的系数，得到**0jjklkkI即**1,1,2,...jjjkjkkIIj可从jI1j由此...