1汽2+yi2+y(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2.辅导讲义一一平面向量的数量积教学内容知识模块1平面向量的数量积1.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为3,则数量|a||b|cos3叫做a与b的数量积(或内积)，记作a-b=|a||b|cos3.规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a・b=O；两个非零向量a与b平行的充要条件是a・b=±lallbl.2.平面向量数量积的几何意义数量积a・b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos3的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)非零向量a,b,a丄boa・b=0；(2)当a与b同向时，a・b=lallbl；(3)当a与b反向时，a・b=—|a||b|.(4)a*a=lab,|a|=-、'a'a；⑸cos3=踹；(6)la^b|<|allbl.4.平面向量数量积满足的运算律(1)a・b=b・a(交换律)；(2)(加)・b=^(a・b)=a・(Ab)a为实数)；(3)(a+b)・c=a・c+b・c.5•平面向量数量积有关性质的坐标表示(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离lABimABA-x/2+(y?-y/2.(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a丄b^x1x2+y1y2=0.精典例题透析［例1］已知a二3,b二4,a与b的夹角为120。,则a在b方向上的投影为.［巩固］已知a二b二2,a与b的夹角为亍，则a+b在a上的投影为.［例2］在△ABC,ZBAC二90。,D是BC中点，AB=4,AC=3,则AD-BC二2［巩固1］边长为1的等边三角形ABC中，设AB二c,BC二a,CA二b，则a-b+b-c+c-a=［巩固2］在AABC中，M是BC的中点，AM=3,点P在AM上，且满足AP=2pM,则Pt(PB+PC)的值为［例3］在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形，AB=(1,-2),AD=(2,1)，则AD-AC=［巩固］若向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(2,x)，满足条件(8a-b)-c=30，则x=［例4］若a=1，b=2，c=a+b，且c丄a，则a与b的夹角为［巩固1］已知向量a，b的夹角为60°，且lal=2,lbl=l,则向量a与向量a+2b的夹角等于［巩固2］已知向量a+b=(2,-8),a一b=(一8，16),则a与b的夹角的余弦值为［例5］已知向量a=(2m,4),b=(m-1,-1)，若a丄b，则实数m的值为［巩固1］已知向量m=(X+1,1),n=(X+2,2)，若(m+n)丄(m-n)，则实数九的值为——fc-——*■—►—F-［巩固2］已知向量a=(1,n),b=(-1,n),2a-b与b垂直，a=［例6］已知向量a与b的夹角为45。，且a=1,2a-b=J10,则b=［巩固1］设向量a、b，满足a=b=1,则AP-(AB+AC)的值恒为.D~3［巩固2］已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么a-b二a・b［例7］已知a=(x,1),b=(2,3x),x20,则的取值范围是-2r2a+b［巩固］若P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点,知识模块2经典题型题型一：平面向量数量积的运算［例］(1)已知点A(—1,1)、B(l,2)、C(—2,—1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为.(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则庞・CB的值为；DE・DC的最大值为［巩固］(1)已知平面向量a=(X］,y1),b=(x2，yX-py以)，若IaI=2,lbI=3,a・b=—6.则1亠”1的值为X2—y2(2)在AABC中，若A=120°,AB・AC=—1,则iBCI的最小值是.题型二：求向量的模与夹角［巩固］已知向量m=(2sin(ex+3)，1)，n=(2cosrnx,4n［例］(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于3，lal=2,lbl=3，则2a_b与a+2b的夹角的余弦值等于()(2)______________________________________________________________已知向量a,b的夹角为45°,且lai=1,12a—bl=迈0,则lbl=.(3)_____________________________________________________________________________________________已知向量AB与AC的夹角为120。，且lABl=3,lACl=2.若A万=AAB+AC,且AP丄BC,则实数久的值为.［巩固］(1)在平行四边形ABCD中，AD=1,/BAD=60。,E为CD的中点.若AbBE=1,则AB的长为.(2)已知单位向量竹与e2的夹角为a,且cosa=3,向量。=3竹一2e2与b=3ey—e2的夹角为则cosB=题型三：数量积的综合应用［例］已知AABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),”=(sinB,sinA),p=(b—2,a—2).(1)若m〃n，求证：△ABC为等腰三角形；n(2)若m丄p,边长c=2，角C=3，求AABC的面积./TT一;3)(e>0),函数f(x)=m・n的两条相邻对称轴间的距离为丁5(1)求函数fx)的单调递增区间；(2)当xW[—誓,令]时，求fx)的值域.夯实基础训练1._______________________________________________________...
