四川大学数学学院徐小湛2April2012SantaII,p.165等值线f(x,y)=k的法向量花舞人间17MAR2012四川大学数学学院徐小湛2April2012SantaII,p.165等值线f(x,y)=k的法向量推导如下结论：函数f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。所以函数的梯度就是函数等直线的法向量。四川大学数学学院徐小湛2April2012SantaII,p.165设方程f(x,y)=k确定了隐函数y=y(x)。将此函数代回原方程，得恒等式：(,())0fxyx等式两端对x求导：1()0xyffyx得：()xyfyxf四川大学数学学院徐小湛2April2012SantaII,p.165等值线f(x,y)=k在一点(x,y)处的法线斜率为：1()yxfkyxf故等值线f(x,y)=k在一点(x,y)处的法线向量为：{1,}yxff{,}(,)xyfffxy或这正好是函数f(x,y)在(x,y)处的梯度。所以，函数f(x,y)在(x,y)处的梯度垂直于函数经过该点的等值线。四川大学数学学院徐小湛2April2012SantaII,p.165(,)fxyk(,)xy{,}xyfff法向量等值线f(x,y)=k的法向量四川大学数学学院徐小湛2April2012SantaII,p.165特别地，曲线f(x,y)=0在一点(x,y)处的法向量为f的梯度（取k=0）：{,}(,)xyfffxy(,)0fxy(,)xy{,}xyfff法向量
