椭圆专题讲义一、知识梳理1.椭圆的概念平面内与两个定点件，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M1|MF]|+|MF2l=2a},|F]F2|=2C，其中a>0,c>0,且a,c为常数：（1）若注，则集合P为椭圆；（2）若a=c,则集合P为线段；（3）若ab>0)V2,X202+b2=1(a>b>0)图形y性质范围—aWxWa—bWyWb—bWxWb—aWyWa对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点坐标A](—a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,—a),A2(0,a)B1(—b,0),B2(b,0)轴长轴A]A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距lF1F2l=2c离心率c尸产（0，1）a,b,c的关系a2=b2+c2注意：点P（x0,尹°）和椭圆的位置关系⑴点p（x0,儿）在椭圆内少O2+b21・二、基础检测题组一：思考辨析1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“厂或“X”）（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）（2）椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成APFF?的周长为2a+2c（其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距）.（）（3）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）X2,B-yi_20C-10+i5=1X2,D-2o+y21—B.21⑹養+b2=1（a>b>0）与02+bl=1（a>b>0）的焦距相等.（）题组二：教材改编2.椭圆讦J+」*=1的焦距为4则m等于（）10－mm－2A.4B.8C.4或8D.123.过点A（3,—2）且与椭圆等+芍=1有相同焦点的椭圆的方程为（）4X2,V2A-T5+1o=14._______________________________已知点P是椭圆1上y轴右侧的一点，且以点p及焦点件，F2为顶点的三角形的面积等于1,则点P的坐标为.题组三：易错自纠5•若方程為+总—1表示椭圆，则m的取值范围是（）A.（—3,5）B.（—5,3）C.（一3,1）U（1,5）D.（―5,1）U（1,3）6•椭圆12+备—1的离心率为4,则k的值为（）A.—2119C.—25或217.已知椭圆C：+b2—1（a>b>0）的左、右焦点分别为F],F2，离心率为亨，过F2的直线l交C于A,B两点，若△力尸占的周长为4,月，则C的方程为（）A.卅-112,B•亍+y2—1x2y2C-12+yT三、典型例题：椭圆及其性质题型一：椭圆的定义及应用1•如图所示，一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片，折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是（）示焦点在y轴上的椭圆.2MCA.A•椭圆C.抛物线B.双曲线D.圆2.过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F］的直线与椭圆交于A,B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的AABF?的周长为()A.2B.4C.8X23.椭圆亍+y2=l的左、右焦点分别为F］,F2,过F］作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P,则|PF2|等于()D.44.已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(l,l)是一定点，则|PA|+|PF|的最大值为，最小值为.思维升华：椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.题型二：椭圆的标准方程命题点1：利用定义法求椭圆的标准方程典例(1)已知两圆Cf(x—4)2+y2=169,C2：(x+4)2+y2=9，动圆在圆C］内部且和圆C］相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A-6448=1B48十64=丄C'48641D'64+481⑵在AABC中，A(—4,0),B(4,0),AABC的周长是18,则顶点C的轨迹方程是()X2V2V2X2A-25+9=1(yH0)B.J5+9=1(yH0)V2X2D-16+=1(yH0)命题点2：利用待定系数法求椭圆方程35典例(1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(-2,2)，d⑤,则椭圆方程为⑵过点(迈，一回，且与椭圆2|+寺=1有相同焦点的椭圆的标准方程为.A.4B.3c.2D.5c.|D"3思维升华：(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a>|F]F2|;利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,mHn)的形式.跟踪训练：设件，F2分别是椭圆E：x2+^=1(0
