圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素(点，线，图形或是参数)存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替(1)点：坐标(x,y)00(2)直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量)(3)曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：(1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。(2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。(3)核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程(组)，运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆C:—+二=1(a>b>0)的离心率为€，过右焦点F的直线l与C相交a2b23一亠V2于A,B两点，当1的斜率为1时，坐标原点0至U1的距离为-亍。(1)求a,b的值(2)C上是否存在点P，使得当1绕F旋转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的P的坐标和1的方程，若不存在，说明理由一一一解：(1)e=—=na:b:c=弋3:&2:1a3x=x+01儿=”+01y=k(x-1)联立直线与椭圆方程：＜OP=OA+OBx2y2消去y可得：2x2+3k2(x—1)2二6，整理可得:(3k2+2)x2—6k2x+3k2—6=06k26k34k..x+x=y+y=klx+x丿一2k=—2k=—123k2+212123k2+23k2+2f6k2—4k、*3k2+23k2+2丿因为P在椭圆厂6k2、3k2+2丿.72k4+48k2=6(3k2+2)n24k2(3k2+2)=6(3k2+2)4k)3k2+224k2=6(3k2+2)nk=±辽当k=J2时，l:y=*''2(x—1)，Pf3Q迈，当k=—*'2时，l:y=—^2(x—1)，P当斜率不存在时，可知l:x=1，A1,乎］Bf1,-芈｝则P(2,0)不在椭圆上d=P吕解得：c=1v'220011则a=J3c,b=c，依题意可得：F(c,0),当l的斜率为1时l:y=x-cnx-y-c=0a=V3,b=V2椭圆方程为:(2)设P(x,y)，A(x,y),B(x,y)2当l斜率存在时，设l:y=k(x—】)•x+x=1212xx+yy(k2+1)xx_(3F2)(3[5、•••综上所述：1:y=J2(x-1)，P2厂万~或1:y二—J2(x一1)，P2，"^V22丿(22丿例2：过椭圆r:+=】(a>b>0)的右焦点F的直线交椭圆于A,B两点，F为其左a2b221J3焦点，已知口AFB的周长为8,椭圆的离心率为一12(1)求椭圆r的方程(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆r恒有两个交点P,Q，且OP丄OQ?若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由口AFB的周长可得：4a=8na=21e=—=nc=3•b2=a2-c2=ta2(2)假设满足条件的圆为X2+y2=r2，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内0b>0）经过点）,a2b2F（-c,0）和F（c,0）12（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（-4,0）作斜率为k（k丰0）的直线l，交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1①证明：k.k为定值1②是否存在实数k，使得FN丄AD?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明1理由c1解：（1）依题意可知：e==可得：a:b:c=2：\；3：1a2若PQ:x=I2頁~T~x2y2•••椭圆方程为：兀+応=】，代入由A>16k4k2+3y0=k(x+4)=.k-蛊——_!1x4k0・••kk一丄k②假设存在实数k，使得FN丄AD，则k・k=一11F1NAD12/.kF1Ny0-x+104kAD3+4k2—16k21—4k2—+13+4k2k(x+4)2x+2kF1-kAD41-4k2k(x+4)2=—1x+22x...
