第二章Bézier曲线§1.一般介绍§2.Bézier曲线的定义及性质§3.deCasteljau算法§4.Bézier曲线的其它表示形式及导数§5.组合Bézier曲线和几何连续性§6.Bézier曲线修形及升阶§1.一般介绍BéBézierzier曲线是分别由法国曲线是分别由法国CitroënCitroën汽车公司的汽车公司的deCasteljaudeCasteljau大约于大约于19591959年和法国年和法国RenaultRenault汽车公司的汽车公司的BézierBézier大约于大约于19621962年独立研制的年独立研制的..由于以由于以BézierBézier方法为基础的方法为基础的UNISURFUNISURF系统系统首先公开发表首先公开发表,,所以现在这一方法冠以所以现在这一方法冠以BézierBézier的名字的名字..BézierBézier(1910,9,1-1999,11,25)Bézier(1910,9,1-1999,11,25)法国法国RenaultRenault汽车公司的工程师汽车公司的工程师..§2.Bézier曲线的定义及性质BézierBézier曲线的定义曲线的定义BernsteinBernstein多项式的性质多项式的性质BézierBézier曲线的性曲线的性质质二次二次BézierBézier曲线曲线三次三次BézierBézier曲线曲线Bézier所给出的定义图例：三次BézierBézier曲线曲线Bézier曲线的定义(现在)Bernstein多项式的性质(1)1.单位分解性2.非负性3.端点性质Bernstein多项式的性质(2)5.递推公式6.导函数7.最大值4.对称性Bernstein多项式的性质(3)9.分割公式8.升阶公式11.与幂基的转换公式10.积分公式Bézier曲线的性质递推公式端点性质对称性凸包性几何不变性二次Bézier曲线等分作图包络形成的二次二次BézierBézier曲线曲线二次二次BézierBézier曲线的拼接曲线的拼接二次二次BézierBézier曲线插值曲线插值三次Bézier曲线三次Bézier曲线等分作图三次三次BézierBézier曲线插曲线插值值三次Bézier曲线的几何特征二次Bézier曲线等分作图包络形成的二次二次BézierBézier曲线曲线二次二次BézierBézier曲线的拼接曲线的拼接二次二次BézierBézier曲线插值曲线插值二次Bézier曲线插值图例1二次Bézier曲线插值图例2二次Bézier曲线插值图例3二次Bézier曲线插值图例4二次Bézier曲线拼接图例10P1P2P3P4P5P1Q2Q3Q二次Bézier曲线拼接图例2二次Bézier曲线等分作图三次Bernstein基函数四次Bernstein基函数递推公式的证明求导运算升阶公式的证明一升阶公式的证明二分割公式的证明积分公式的证明基转化公式的证明Bézier曲线递推公式的证明Bézier曲线递推公式图例1Bézier曲线递推公式图例2凸包性凸包的定义几何不变性例1几何不变性例2三次Bézier曲线等分作图三次三次BézierBézier曲线插值曲线插值三次Bézier曲线的几何特征1三次Bézier曲线的几何特征2三次Bézier曲线的几何特征3三次Bézier曲线的几何特征4三次Bézier曲线等分作图00P01P02P03P10P11P12P30P20P21P三次Bézier曲线插值图例1三次Bézier曲线插值图例2三次Bézier曲线插值图例3空间三次Bézier曲线图例平面三次Bézier曲线图例§3.deCasteljau算法deCasteljau算法图例1deCasteljau算法图例2deCasteljau算法图例3deCasteljau算法图例4§4.Bézier曲线的其它表示形式及其导数用边向量表示的Bézier曲线Bézier曲线的导数Bézier曲线的差分表示形式用边向量表示的Bézier曲线(证明)Bézier曲线的导数1Bézier曲线的导数2Bézier曲线的差分表示形式边向量表示形式的证明1边向量表示形式的证明2边向量表示形式的证明3注：这里又称为Bézier函数,()inft,()inftBézier函数的性质性质1性质2性质3§5.组合Bézier曲线和几何连续性组合组合BézierBézier曲线曲线连接点处的参数连续性连接点处的参数连续性(1)(1)连接点处的参数连续性(2)连接点处参数连续性图例Bézier曲线的几何连续性组合组合BézierBézier曲线图曲线图例例Bézier曲线几何连续性图例§6.Bézier曲线修形及升阶BézierBézier曲线的形状修改曲线的形状修改Bézier曲线的升阶有理Bézier曲线升阶图例1升阶图例2形状修改图例
